最大子数组的线性时间求解问题

本文探讨如何使用动态规划在线性时间内解决最大子数组问题。通过分析算法导论中的思路,提出了一个非递归的线性时间算法。首先定义dp数组,并通过递推方程实现状态转移。接着,介绍了如何通过滚动数组优化空间复杂度。最后,简单提及了贪心算法在这个问题上的应用,虽然与dp类似,但贪心需要证明其正确性。

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之前有一个博客说的是使用分治的方式处理问题,但是我们可以看到实际上是将问题复杂化了。
链接:最大子数组问题

动态规划

dp说白了就是一个个的不断尝试,来找到问题的最优解,那么动态规划就应该有一个状态转移方程,我们来看看这道题用动态规划能不能解决?

算法导论还是很良心的,至少给了我们以下的思路:

使用如下思想为最大子数组问题设计一个非递归的、线性时间的算法。从数组的左边界开始,从左至右处理,记录到目前为止已经处理过的最大子数组。若已知A[1…j]的最大子数组,基于如下性质将解扩展为A[1…j+1]的最大子数组:A[1…j+1]的最大子数组要么是A[1…j]的最大子数组,要么是某个子数组A[i…j+1]> (1≤i≤j+1)。在已知A[1…j]的最大子数组的情况下,可以在线性时间内找出形如A[i…j+1]的最大子数组。

先看看这句话什么意思吧。
我们已经有了一个[1……j]的最大子数组,那么在此基础上我们就可以求出A[1……j+1]的最大子数组,只可能有两种情况:还是原来的,或者是舍弃前面的一部分,A[i……j+1]。(这部分比较直观)
然后就是线性时间求[i……j+1],这个就是一个个的遍历找到i。

如果我们给出的dp数组的定义是这样的dp[i] = A[1……i]最大子数组的值,那么写递推方程会变成这样:

dp[j+1] = max{ dp[j],ΣA[i……j+1] }

好家伙,这啥啊。
而且最后我们只能通过一个个i的尝试来寻找最优解,那么时间肯定不是线性阶的。

修改dp数组
网上流行的方式是将dp[i]定义为以i结尾的子数组的最大解
那么 dp[j] = max{ A[i……j] },1<= i &

### 最大子数组问题的分而治之法 C语言实现 最大子数组问题的目标是找到一个连续子数组,使得该子数组的元素和最大。分而治之算法通过将数组划分为更小的部分来解决这一问题。以下是基于分而治之法的C语言实现。 #### 1. 分而治之的核心思想 分而治之法的核心在于将数组划分为左右两部分,并分别求解以下三种情况的最大子数组: - 完全位于左半部分的最大子数组。 - 完全位于右半部分的最大子数组。 - 跨越中点的最大子数组。 最终结果为上述三种情况中的最大值[^1]。 #### 2. 跨越中点的最大子数组 跨越中点的最大子数组需要从中间向两边扩展,分别计算左侧和右侧的最大和。具体步骤如下: - 从中间位置向左逐步累加,找到左侧的最大和。 - 从中间位置向右逐步累加,找到右侧的最大和。 - 将左右两侧的最大和相加,得到跨越中点的最大子数组和。 #### 3. C语言实现代码 以下是使用分而治之法解决最大子数组问题的C语言实现: ```c #include <stdio.h> #include <limits.h> // 找到跨越中点的最大子数组 int findMaxCrossingSubarray(int arr[], int low, int mid, int high) { int left_sum = INT_MIN; int sum = 0; for (int i = mid; i >= low; i--) { sum += arr[i]; if (sum > left_sum) { left_sum = sum; } } int right_sum = INT_MIN; sum = 0; for (int j = mid + 1; j <= high; j++) { sum += arr[j]; if (sum > right_sum) { right_sum = sum; } } return left_sum + right_sum; } // 递归求解最大子数组 int findMaximumSubarray(int arr[], int low, int high) { if (high == low) { return arr[low]; // 只有一个元素的情况 } else { int mid = (low + high) / 2; int left_sum = findMaximumSubarray(arr, low, mid); // 左半部分最大子数组 int right_sum = findMaximumSubarray(arr, mid + 1, high); // 右半部分最大子数组 int cross_sum = findMaxCrossingSubarray(arr, low, mid, high); // 跨越中点的最大子数组 if (left_sum >= right_sum && left_sum >= cross_sum) { return left_sum; } else if (right_sum >= left_sum && right_sum >= cross_sum) { return right_sum; } else { return cross_sum; } } } int main() { int arr[] = {-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4}; int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); int max_sum = findMaximumSubarray(arr, 0, n - 1); printf("最大子数组的和为: %d\n", max_sum); return 0; } ``` #### 4. 算法分析 上述实现的时间复杂度为 \(O(n \log n)\),其中 \(n\) 是数组的长度。这是因为每次递归调用会将数组划分为两半,同时需要线性时间来计算跨越中点的最大子数组和[^3]。 ---
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