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网络化控制系统的优化控制策略研究
1. 分布式网络化控制系统的跨层协同设计
在分布式网络化控制系统（DNCS）中，传统方法往往只关注网络层性能，而忽略了每个系统的物理性能，无法实现DNCS整体性能的优化。通过提出的跨层分布式调度方案，结合最优自适应零阶保持（ZOH）事件触发控制，能有效优化通信网络和子系统的性能。
1.1 调度方案公平性评估
不同调度方案的公平性评估结果显示，提出的跨层分布式调度和广泛使用的嵌入式轮询（ERR）方案的公平性指数接近且等于1，而贪婪调度的公平性指数远小于1。这表明提出的方案在满足整体性能的同时，能公平分配共享通信网络资源。ERR方法公平性好，但成本高于提出的方案。具体公平性对比如下：
| 调度方案 | 公平性指数 |
| ---- | ---- |
| 提出的分布式调度 | 接近1 |
| 嵌入式轮询（ERR） | 接近1 |
| 贪婪调度 | 远小于1 |
1.2 跨层协同设计优势
跨层协同设计包含最优自适应ZOH事件触发控制和跨层分布式调度方案。该方案的优势在于：
- 新型最优自适应ZOH事件触发控制方案无需每个系统的动态信息，采用基于事件的状态和控制策略采样，替代低效的周期性时间驱动采样，降低传输成本。
- 事件触发控制的参数调整是非周期性的。
- 新型调度算法是分布式且简单的，比集中式调度算法所需计算量少。
1.3 相关问题
为进一步研究该方案，还提出了相关问题：
- 重复示例并展示传输次数的减少情况，并与周期性采样进行绘图对比。
- 以不同初始条件重复示例。
2. 不确定线性控制系统在统一通信协议下的最优控制
在网络化控制系统（NCS）中，考虑网络缺陷时，传统方法未充分考虑通信协议的影响。将网络缺陷纳入已知时不变线性系统会导致具有不确定系统动态的随机线性网络化控制系统（LNCS），基于Riccati方程的最优控制方案无法适用。
2.1 统一通信协议框架
提出的统一通信协议框架包含三种场景：
- 场景1：具有完全确认的TCP协议。
- 场景2：具有间歇性确认的TCP协议。
- 场景3：无确认的UDP协议。传统的TCP和UDP协议可视为该框架下的特殊情况。
2.2 最优控制设计流程
为实现NCS在统一通信协议下的最优控制，设计流程如下：
graph LR
A[纳入网络缺陷] --> B[输入 - 输出形式表达]
B --> C[引入新型观测器]
C --> D[估计随机价值函数]
D --> E[计算最优控制输入]
-
新型观测器设计
：在NCS中，传统观测器因需要系统动态信息而无法用于NCS。提出的新型观测器可在不确定系统动态下估计系统状态。系统状态向量$z_k$在时间$kT_s$的估计公式为：
$\hat{z} k = E\left[\begin{array}{c}\hat{s} {k - 1}\ \hat{\vartheta} {k - 1}\end{array}\right] + M {\xi,k}\left[\begin{array}{c}s_{k - 1}\ \psi_{k - 1}\end{array}\right] - \kappa_o\Delta y_{k - 1} + \xi_{k - 1}\varphi_{k - 1}n_{k - 1}$
其中，$M_{\xi,k}$的具体形式为：
$M_{\xi,k}=\left[\begin{array}{cccc}-\frac{\xi_{k - 1}\upsilon_{k - 1}}{2}I_n&0&\cdots&0\ 0&-\frac{\xi_{k - 1}\upsilon_{k - 1}}{2}I_n&\cdots&0\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\ 0&0&\cdots&-\frac{\xi_{k - 1}\upsilon_{k - 1}}{2}I_n\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}\xi_{k - 1}\upsilon_{k - 1}I_n&0&\cdots&0\ 0&\xi_{k - 1}\upsilon_{k - 1}I_n&\cdots&0\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\ 0&0&\cdots&\xi_{k - 1}\upsilon_{k - 1}I_n\end{array}\right]$
若收到确认信息$\xi_k$，则$\upsilon_k$已知并用于观测器；若未知，如UDP情况，可使用均值$\bar{\upsilon}$。例如，$M_{\xi,k}$的一个元素$M_{k,bb}^{\xi}$可表示为：
$M_{k,bb}^{\xi}=\begin{cases}\xi_k\upsilon_k + (1 - \xi_k)\bar{\upsilon},&\text{若收到确认信息}\ \bar{\upsilon},&\text{若未收到确认信息}\end{cases}$
系统状态向量在下一步$\hat{z} {k + 1}$的预测公式为：
$E\left[\hat{z} {k + 1}\right]=E\left[\begin{array}{c}\hat{s} {k}\ \hat{\vartheta} {k}\end{array}\right] + M_{\xi,k + 1}\left[\begin{array}{c}s_{k}\ \psi_{k}\end{array}\right] - \kappa_o\Delta y_{k} + \xi_{k}\varphi_{k}n_{k}$
预测误差$E\left[\Delta\hat{z} {k + 1}\right]$的推导公式为：
$E\left[\Delta\hat{z} {k + 1}\right]=E\left[\hat{z} {k + 1}-z {k + 1}\right]=U\left[\begin{array}{c}\Delta\hat{z} {k}\ \Delta\hat{\vartheta} {k}\end{array}\right]-D\left[\begin{array}{c}\Delta\hat{s} {k}\ \Delta\psi {k}\end{array}\right]+\xi_{k}\left[\begin{array}{c}\Delta\hat{s} {k}\ \Delta\psi {k}\end{array}\right]$
其中，$U = diag\left{A_{z}I_{m},A_{z}I_{m},\cdots,A_{z}I_{m}\right}$，$M_{k}=\left[\begin{array}{cccc}-\frac{\upsilon_{k}}{2}I_n&0&\cdots&0\ 0&-\frac{\upsilon_{k}}{2}I_n&\cdots&0\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\ 0&0&\cdots&-\frac{\upsilon_{k}}{2}I_n\end{array}\right]$。
观测器参数向量$E\left[\hat{\vartheta} {k}\right]$的更新公式为：
$E\left[\hat{\vartheta} {k + 1}\right]=E\left[\hat{\vartheta} {k}\right]+\alpha_o\Gamma\left[\begin{array}{c}\Delta\hat{s} {k}\ \Delta\psi_{k}\end{array}\right]^T\left[\begin{array}{c}\Delta\hat{s} {k}\ \Delta\psi {k}\end{array}\right]$
代入NCS动态信息后，$\hat{\vartheta} {k + 1}$可表示为：
$E\left[\hat{\vartheta} {k + 1}\right]=E\left[\hat{\vartheta} {k}\right]+\alpha_o\Gamma\left[\begin{array}{c}\Delta\hat{s} {k}\ \Delta\psi_{k}\end{array}\right]^T\left[\begin{array}{c}\Delta\hat{s} {k}\ \Delta\psi {k}\end{array}\right]+\alpha_o\gamma\left[\begin{array}{c}\Delta\hat{s} {k}\ \Delta\psi {k}\end{array}\right]^T\left[\begin{array}{c}\Delta\hat{s} {k}\ \Delta\psi {k}\end{array}\right]$
观测器参数估计误差动态$E\left[\Delta\hat{\vartheta} {k}\right]$可表示为：
$E\left[\Delta\hat{\vartheta} {k + 1}\right]=E\left[\Delta\hat{\vartheta} {k}\right]-\alpha_o\Gamma\left[\begin{array}{c}\Delta\hat{s} {k}\ \Delta\psi_{k}\end{array}\right]^T\left[\begin{array}{c}\Delta\hat{s} {k}\ \Delta\psi {k}\end{array}\right]-\alpha_o\gamma\left[\begin{array}{c}\Delta\hat{s} {k}\ \Delta\psi {k}\end{array}\right]^T\left[\begin{array}{c}\Delta\hat{s} {k}\ \Delta\psi {k}\end{array}\right]$
在时间$(k + 1)T_s$，观测状态$E\left[\hat{z} {k + 1}\right]$和估计误差动态$E\left[\Delta\hat{z} {k + 1}\right]$可表示为：
$E\left[\hat{z} {k + 1}\right]=E\left[\begin{array}{c}\hat{s} {k}\ \hat{\vartheta} {k}\end{array}\right] + M {\xi,k + 1}\left[\begin{array}{c}s_{k}\ \psi_{k}\end{array}\right] - \kappa_o\Delta y_{k} + \xi_{k}\varphi_{k}n_{k}+\Delta\hat{y} {k}+\Delta\hat{z} {k}$
$E\left[\Delta\hat{z} {k + 1}\right]=U\left[\begin{array}{c}\Delta\hat{z} {k}\ \Delta\hat{\vartheta} {k}\end{array}\right]-D\left[\begin{array}{c}\Delta\hat{s} {k}\ \Delta\psi_{k}\end{array}\right]+\xi_{k}\left[\begin{array}{c}\Delta\hat{s} {k}\ \Delta\psi {k}\end{array}\right]$ -
随机价值函数估计
：在统一通信协议和网络缺陷下，NCS具有唯一平衡点$z = 0$。最小化随机价值函数$V_k(z)$可得到随机最优控制输入$u_k^
= -K_kz_k$，其中$K_k$为最优增益。确定性等价随机价值函数可表示为：
$V_k^ (z)=E\left[z_k^TP_kz_k\right]$
其中，$P_k\geq0$是SRE的解。最优动作相关价值函数可定义为：
$V_k^ (z)=E\left[r(z_k,u_k)+V_{k + 1}^ (z_{k + 1})\right]=E\left[\begin{array}{c}z_k\ u_k\end{array}\right]^T\left[\begin{array}{cc}\Theta_{zz}&\Theta_{zu}\ \Theta_{uz}&\Theta_{uu}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}z_k\ u_k\end{array}\right]$
其中，$r(z_k,u_k)=z_k^TOz_k + u_k^TRu_k$。将价值函数代入Bellman方程可得：
$\left[\begin{array}{c}z_k\ u_k\end{array}\right]^T\left[\begin{array}{cc}\Theta_{zz}&\Theta_{zu}\ \Theta_{uz}&\Theta_{uu}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}z_k\ u_k\end{array}\right]=E\left[\begin{array}{c}z_k\ u_k\end{array}\right]^T\left[\begin{array}{cc}O + E\left[A_{zk}^TP_{k + 1}A_{zk}\right]&E\left[A_{zk}^TP_{k + 1}B_{zk}\right]\ E\left[B_{zk}^TP_{k + 1}A_{zk}\right]&R + E\left[B_{zk}^TP_{k + 1}B_{zk}\right]\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}z_k\ u_k\end{array}\right]$
因此，$E\left[\Theta\right]$可表示为：
$\Theta=\left[\begin{array}{cc}\Theta_{zz}&\Theta_{zu}\ \Theta_{uz}&\Theta_{uu}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}O + E\left[A_{zk}^TP_{k + 1}A_{zk}\right]&E\left[A_{zk}^TP_{k + 1}B_{zk}\right]\ E\left[B_{zk}^TP_{k + 1}A_{zk}\right]&R + E\left[B_{zk}^TP_{k + 1}B_{zk}\right]\end{array}\right]$
根据上述公式，NCS在统一通信协议下的最优控制增益可表示为：
$K_k = \left(R + E\left[B_{zk}^TP_{k + 1}B_{zk}\right]\right)^{-1}E\left[B_{zk}^TP_{k + 1}A_{zk}\right]$
需要注意的是，即使已知核矩阵$P_k$，求解时变最优控制增益仍需缓慢时变的系统矩阵。但如果能在线估计缓慢变化的参数向量$\Theta_k$，则无需系统动态信息即可计算最优控制增益。
2.3 相关假设与定理
为保证观测器的有效性，提出了以下假设和定理：
-
假设10.1：可观测性
：为满足可观测性准则，传感器和控制器之间携带输出反馈的数据包的临界到达概率需在一定区域内，即$P(\gamma_k = 1) > \frac{1}{N_0}$，其中$P(\gamma_k = 1)$是控制器处的到达概率，$N_0$是有限正常数。
-
定理10.1
：在假设10.1和统一通信协议下，存在正常数$\eta$和$\alpha_o$，满足$0 < \eta < \frac{1}{3}\left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \chi_{min}^2}}\right)$，$0 < \alpha_o < \frac{1}{1 + \chi_{min}^2}$，使得估计误差$E\left[\Delta\hat{z}
{k}\right]$和参数估计误差$E\left[\Delta\hat{\vartheta}
{k}\right]$在均值上有界，界分别为$E\left[\Delta\hat{z}
{k}\right]\leq B
{eo}$和$E\left[\Delta\hat{\vartheta}
{k}\right]\leq B
{\vartheta}$。通信确认指标$\xi_k$、其均值$\bar{\xi}$和方差$\sigma_{\xi}^2$会影响界$\varepsilon_{M_o}$、$B_{eo}$和$B_{\vartheta}$的值。对于具有完全确认的TCP协议下的NCS，界趋于零或在均值上渐近稳定；对于具有间歇性确认的TCP协议，当均值$\bar{\xi}$和方差$\sigma_{\xi}^2$减小时，界增大；对于UDP协议下的NCS，界在统一通信框架下达到最大。
3. 闭环稳定性分析
闭环稳定性是控制系统设计中的关键考量因素，它关乎系统在各种条件下能否保持稳定运行。对于在统一通信协议下的网络化控制系统（NCS），闭环稳定性的分析尤为重要，因为网络的不确定性和通信协议的影响可能会对系统的稳定性产生显著影响。
3.1 稳定性分析的重要性
在NCS中，网络的引入带来了诸如延迟、丢包等问题，这些问题可能会破坏系统的稳定性。统一通信协议虽然为系统提供了一个统一的框架，但不同的通信场景（如TCP的完全确认、间歇性确认和UDP的无确认）对系统稳定性的影响各不相同。因此，对闭环稳定性进行深入分析，可以帮助我们了解系统在不同通信条件下的性能，从而采取相应的措施来保证系统的稳定运行。
3.2 稳定性分析的方法
为了分析NCS在统一通信协议下的闭环稳定性，通常会采用Lyapunov稳定性理论。Lyapunov稳定性理论是一种强大的工具，它可以通过构造一个合适的Lyapunov函数来判断系统的稳定性。
具体步骤如下：
1.
构造Lyapunov函数
：根据系统的状态方程和性能指标，构造一个合适的Lyapunov函数$V(x)$，其中$x$是系统的状态向量。
2.
计算Lyapunov函数的导数
：对Lyapunov函数$V(x)$求关于时间的导数$\dot{V}(x)$。
3.
判断导数的符号
：根据$\dot{V}(x)$的符号来判断系统的稳定性。如果$\dot{V}(x) < 0$，则系统是渐近稳定的；如果$\dot{V}(x) \leq 0$，则系统是稳定的。
3.3 不同通信协议下的稳定性分析
- TCP完全确认 ：在TCP完全确认的情况下，系统能够及时得到反馈信息，网络的不确定性相对较小。此时，通过合理设计控制器和观测器，可以使系统的闭环稳定性得到较好的保证。
- TCP间歇性确认 ：TCP间歇性确认会导致系统反馈信息的不及时，增加了系统的不确定性。在这种情况下，需要对控制器和观测器进行调整，以适应反馈信息的变化，从而保证系统的稳定性。
- UDP无确认 ：UDP无确认的情况下，系统无法得到反馈信息，网络的不确定性最大。此时，需要采用更加鲁棒的控制策略，以应对网络的不确定性，保证系统的稳定性。
3.4 稳定性分析的结果
通过对NCS在统一通信协议下的闭环稳定性分析，可以得到以下结果：
- 在合适的条件下，系统可以在不同的通信协议下保持稳定运行。
- 不同的通信协议对系统的稳定性有不同的影响，需要根据具体情况采取相应的措施。
- 合理设计控制器和观测器可以提高系统的稳定性，降低网络不确定性的影响。
4. 仿真结果验证
为了验证所提出的最优控制策略在统一通信协议下的有效性，进行了一系列的仿真实验。仿真实验可以直观地展示系统在不同条件下的性能，为理论分析提供有力的支持。
4.1 仿真环境设置
- 系统模型 ：采用一个典型的线性网络化控制系统作为仿真模型，该模型考虑了网络的延迟、丢包等因素。
- 通信协议 ：分别模拟了TCP完全确认、TCP间歇性确认和UDP无确认三种通信协议。
- 初始条件 ：设置不同的初始条件，以考察系统在不同初始状态下的性能。
4.2 仿真指标选择
为了评估系统的性能，选择了以下几个仿真指标：
| 指标名称 | 指标含义 |
| ---- | ---- |
| 控制输入误差 | 实际控制输入与最优控制输入之间的误差，反映了控制策略的准确性。 |
| 状态估计误差 | 估计状态与实际状态之间的误差，反映了观测器的性能。 |
| 系统稳定性 | 通过观察系统的状态是否收敛，判断系统的稳定性。 |
4.3 仿真结果分析
4.3.1 TCP完全确认
在TCP完全确认的情况下，系统能够及时得到反馈信息，控制输入误差和状态估计误差较小，系统稳定性良好。仿真结果表明，所提出的最优控制策略在这种情况下能够有效地优化系统的性能。
4.3.2 TCP间歇性确认
当采用TCP间歇性确认时，由于反馈信息的不及时，控制输入误差和状态估计误差会有所增加。但通过合理调整控制器和观测器的参数，系统仍然能够保持稳定运行。这说明所提出的控制策略具有一定的鲁棒性，能够适应反馈信息的变化。
4.3.3 UDP无确认
在UDP无确认的情况下，系统无法得到反馈信息，控制输入误差和状态估计误差最大。但通过采用更加鲁棒的控制策略，系统仍然能够在一定程度上保持稳定。这表明所提出的控制策略在极端情况下也具有一定的有效性。
4.4 仿真结果总结
通过仿真实验，验证了所提出的最优控制策略在统一通信协议下的有效性。具体总结如下：
- 所提出的控制策略能够在不同的通信协议下优化系统的性能，降低控制输入误差和状态估计误差。
- 控制策略具有一定的鲁棒性，能够适应不同的通信条件，保证系统的稳定性。
- 合理设计控制器和观测器的参数，可以进一步提高系统的性能和稳定性。
5. 总结与展望
5.1 研究成果总结
本文围绕网络化控制系统（NCS）在统一通信协议下的最优控制问题展开了深入研究，取得了以下重要成果：
-
跨层协同设计
：提出了跨层分布式调度方案，结合最优自适应ZOH事件触发控制，有效优化了通信网络和子系统的性能。该方案在公平性和成本方面具有优势，能够公平分配共享通信网络资源，同时降低传输成本。
-
统一通信协议框架
：构建了包含TCP完全确认、TCP间歇性确认和UDP无确认三种场景的统一通信协议框架。在此框架下，设计了新型观测器和随机价值函数估计方法，实现了无需系统动态信息的最优控制。
-
闭环稳定性分析
：通过Lyapunov稳定性理论，对NCS在统一通信协议下的闭环稳定性进行了分析。结果表明，在合适的条件下，系统可以在不同的通信协议下保持稳定运行。
-
仿真验证
：通过仿真实验验证了所提出的最优控制策略的有效性。仿真结果显示，该策略能够在不同的通信协议下优化系统的性能，降低控制输入误差和状态估计误差，同时保证系统的稳定性。
5.2 研究不足与展望
尽管本文取得了一定的研究成果，但仍存在一些不足之处，未来可以从以下几个方面进行进一步的研究：
-
复杂网络环境
：本文的研究主要基于较为理想的网络环境，未来可以考虑更加复杂的网络场景，如多跳网络、异构网络等，以提高控制策略的适应性。
-
实时性优化
：在实时控制应用中，对系统的实时性要求较高。未来可以研究如何进一步优化控制策略，提高系统的实时性能。
-
智能控制方法
：引入智能控制方法，如神经网络、模糊控制等，以提高控制策略的智能性和自适应性。
-
实验验证
：虽然仿真实验验证了控制策略的有效性，但实际应用中还需要进行实验验证。未来可以搭建实际的实验平台，对控制策略进行实际测试。
综上所述，网络化控制系统在统一通信协议下的最优控制是一个具有挑战性和重要意义的研究领域。通过不断的研究和创新，有望提出更加有效的控制策略，推动网络化控制系统的发展和应用。
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