35、数据降维与生成模型技术解析

数据降维与生成模型技术解析

压缩感知理论

压缩感知是一种重要的信号处理技术，它在信号不是稀疏向量的情况下也能有很好的效果。以下是一些关键的定理和结论：
- 定理 23.8 ：设 $\epsilon < \frac{1}{1 + \sqrt{2}}$，$W$ 是一个 $(\epsilon, 2s)$ - RIP 矩阵。对于任意向量 $x$，$x_s$ 是在 $x$ 的 $s$ 个最大元素处等于 $x$，其他位置为 0 的向量。$y = Wx$ 是 $x$ 的压缩结果，$x^\star$ 是重构向量。则有 $|x^\star - x|_2 \leq 2\frac{1 + \rho}{1 - \rho} s^{-\frac{1}{2}}|x - x_s|_1$，其中 $\rho = \frac{\sqrt{2\epsilon}}{1 - \epsilon}$。当 $x = x_s$ 时，能实现精确恢复，即 $x^\star = x$，所以定理 23.7 是定理 23.8 的特殊情况。
- 定理 23.9 ：设 $U$ 是一个任意固定的 $d \times d$ 正交矩阵，$\epsilon, \delta$ 是 $(0, 1)$ 内的标量，$s$ 是 $[d]$ 内的整数，$n$ 是满足 $n \geq \frac{100 s \log(\frac{40d}{\delta \epsilon})}{\epsilon^2}$ 的整数。若 $W \in R^{n,d}$ 是一个矩阵，其每个元素服从均值为 0，方差为 $\frac{1}{n}$ 的正态分布，那么在 $W$ 的选择上，至少有 $1 - \delta$ 的概率使得矩阵