34、数据降维：PCA、随机投影与压缩感知技术解析

数据降维：PCA、随机投影与压缩感知技术解析

1. 数据降维概述

数据降维是将高维空间中的数据映射到低维空间的过程，它与信息论中的（有损）压缩概念密切相关。进行数据降维主要有以下几个原因：
- 计算挑战 ：高维数据在处理时会带来巨大的计算压力。
- 泛化能力 ：在某些情况下，高维数据可能导致学习算法的泛化能力变差，例如最近邻分类器的样本复杂度会随维度呈指数级增长。
- 数据解释与可视化 ：降维有助于我们理解数据的结构，同时也方便对数据进行可视化展示。

常见的数据降维方法通常是对原始数据进行线性变换。若原始数据位于$R^d$空间，我们希望将其嵌入到$R^n$（$n < d$）空间，就需要找到一个矩阵$W \in R^{n,d}$，实现映射$x \mapsto Wx$。选择$W$的一个自然准则是使原始数据$x$能够合理恢复，但一般来说，从$Wx$精确恢复$x$是不可能的。

2. 主成分分析（PCA）

2.1 PCA原理

设$x_1, \ldots, x_m$是$R^d$空间中的$m$个向量，我们希望通过线性变换降低这些向量的维度。矩阵$W \in R^{n,d}$（$n < d$）实现映射$x \mapsto Wx$，将$x$映射到低维空间$R^n$；另一个矩阵$U \in R^{d,n}$则用于从压缩后的向量近似恢复原始向量。在PCA中，我们的目标是找到压缩矩阵$W$和恢复矩阵$U$，使得原始向量和恢复向量之间的总平方距离最小，即求解以下问题：
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