【专题】拉格朗日中值定理求极限

【专题】拉格朗日中值定理求极限

前言

最好自己先做一遍例题再去看答案，每道题都不止一种解法，也可以尝试其他思路。

7个题，不难，很快就能做完。ο(=•ω＜=)ρ⌒☆

如果有错误的地方还请指出，我在Typora写好的markdown到csdn上格式就变了，不太好看。

定义

如果函数

f

(

x

)

f(x)

f(x)​满足：

1. 在闭区间

[

a

,

b

]

[a,b]

[a,b]上连续；
2. 在开区间

(

a

,

b

)

(a,b)

(a,b)上可导。

那么在

(

a

,

b

)

(a,b)

(a,b)内至少有一点

ξ

(

a

<

ξ

<

b

)

\xi(a<\xi <b)

ξ(a<ξ<b)，使等式

f

(

b

)

−

f

(

a

)

=

f

′

(

ξ

)

(

b

−

a

)

f(b)-f(a)=f’(\xi)(b-a)

f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)​成立。

解题步骤

1. 找函数

F

(

x

)

F(x)

F(x)。
2. 用拉格朗日中值定理

F

(

b

)

−

F

(

a

)

=

F

′

(

ξ

)

(

b

−

a

)

F(b)-F(a)=F’(\xi )(b-a)

F(b)−F(a)=F′(ξ)(b−a).
3. 找

ξ

\xi

ξ的区间。
4. 用夹逼定理求

ξ

\xi

ξ​的值。
5. 求解答案。

例题

例题1

a

0

,

lim

⁡

x

→

∞

x

2

(

a

1

x

−

a

1

x

1

)

=

a>0,\lim_{x\rightarrow \infty}x^2(a{\frac{1}{x}}-a^{\frac{1}{x+1}})=

a>0,x→∞lim​x2(ax1​−ax+11​)=

例题2

lim

⁡

n

→

∞

n

(

a

r

c

t

a

n

π

n

−

a

r

c

t

a

n

π

2

n

)

=

\lim_{n\rightarrow \infty}n(arctan\frac{\pi}{n}-arctan\frac{\pi}{2n})=

n→∞lim​n(arctannπ​−arctan2nπ​)=

例题3

lim

⁡

x

→

0

1

t

a

n

x

−

1

s

i

n

x

x

l

n

(

1

x

)

−

x

2

=

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+tanx}-\sqrt{1+sinx}}{xln(1+x)-x^2}=

x→0lim​xln(1+x)−x21+tanx

​−1+sinx

​​=

例题4

lim

⁡

x

→

0

l

n

(

c

o

s

x

)

x

2

=

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(cosx)}{x^2}=

x→0lim​x2ln(cosx)​=

例题5

a

≠

k

π

,

lim

⁡

x

→

a

(

s

i

n

x

s

i

n

a

)

1

x

−

a

=

a\ne k\pi,\lim_{x\rightarrow a}{(\frac{sinx}{sina})}^{\frac{1}{x-a}}=

a​=kπ,x→alim​(sinasinx​)x−a1​=

例题6

lim

⁡

n

→

∞

(

n

⋅

t

a

n

1

n

)

n

2

=

\lim_{n\rightarrow \infty}(n\cdot tan\frac{1}{n})^{n2}=

n→∞lim​(n⋅tann1​)n2=

例题7

lim

⁡

x

→

0

(

l

n

(

1

x

)

x

)

1

e

x

−

1

=

\lim_{x\rightarrow 0} (\frac{ln(1+x)}{x})^{\frac{1}{ex-1}}=

x→0lim​(xln(1+x)​)ex−11​=

答案

例题1

1. 定义

F

(

x

)

=

a

x

,

F

′

(

x

)

=

l

n

a

⋅

a

x

F(x)=a^x,F’(x)=lna\cdot a^x

F(x)=ax,F′(x)=lna⋅ax。
2. 根据拉格朗日中值定理，式子

F

(

1

x

)

−

F

(

1

x

1

)

=

a

1

x

−

a

1

x

1

F(\frac{1}{x})-F(\frac{1}{x+1})=a^{{\frac{1}{x}}-a}{\frac{1}{x+1}}

F(x1​)−F(x+11​)=ax1​−ax+11​​可以转换成

F

(

1

x

)

−

F

(

1

x

1

)

=

F

′

(

ξ

)

(

1

x

−

1

x

1

)

F(\frac{1}{x})-F(\frac{1}{x+1})=F’(\xi)(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})

F(x1​)−F(x+11​)=F′(ξ)(x1​−x+11​)​。
3. 其中

ξ

\xi

ξ的范围为

1

x

1

<

ξ

<

1

x

\frac{1}{x+1}<\xi<\frac{1}{x}

x+11​<ξ<x1​。
4. 因为

lim

⁡

x

→

∞

1

x

1

→

0

\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x+1} \rightarrow 0

limx→∞​x+11​→0且

lim

⁡

x

→

∞

1

x

→

0

\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x} \rightarrow 0

limx→∞​x1​→0，根据夹逼定理可得

ξ

→

0

\xi \rightarrow 0

ξ→0。
5. 将上面得到的式子代入：

lim

⁡

x

→

∞

x

2

(

a

1

x

−

a

1

x

1

)

=

lim

⁡

x

→

∞

x

2

(

F

′

(

ξ

)

(

1

x

−

1

x

1

)

)

=

lim

⁡

x

→

∞

x

2

(

l

n

a

⋅

1

x

(

x

1

)

)

=

l

n

a

⋅

lim

⁡

x

→

∞

x

x

1

=

l

n

a

\begin{array}{l} \lim_{x\rightarrow \infty}x^2(a{\frac{1}{x}}-a^{\frac{1}{x+1}}) &=& \lim_{x\rightarrow \infty}x^2(F’(\xi)(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})) \ &=& \lim_{x\rightarrow \infty}x^2(lna\cdot \frac{1}{x(x+1)}) \ &=& lna\cdot \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x}{x+1} \ &=& lna \end{array}

limx→∞​x2(ax1​−ax+11​)​====​limx→∞​x2(F′(ξ)(x1​−x+11​))limx→∞​x2(lna⋅x(x+1)1​)lna⋅limx→∞​x+1x​lna​

例题2

1. 定义

F

(

x

)

=

a

r

c

t

a

n

x

,

F

′

(

x

)

=

1

1