11、量子系统评估指标与测量

量子系统评估指标与测量

1. 基本算子定义

在量子系统中，有一些重要的算子定义。投影算子 (P) 满足 (P^{\dagger} = P) 和 (P^2 = P)，在态 ({|\varphi_j\rangle}) 下可表示为 (P_j = |\varphi_j\rangle\langle\varphi_j|)。

对于一组投影算子 ({P_{\mu}})，其对应的态 (|\mu\rangle) 不一定正交，可定义“广义投影算子” (\hat{E} {\nu}) 为：
(\hat{E} {\nu} = \sum_{\mu} \lambda_{\nu}^{\mu} P_{\mu})，其中 (\lambda_{\nu}^{\mu} > 0) 且 (\sum_{\nu} \hat{E} {\nu} = \hat{I})。
这个算子 (E_k) 被称为“正算子值测度”（POVM）。进一步，(\lambda {\nu}^{\mu} P_{\mu} = \alpha_{\nu}^{\mu} |\mu\rangle\langle\nu|\nu\rangle\langle\mu| \alpha_{\nu}^{\mu *})，其中 (|\nu\rangle \in {|\mu\rangle}) 且 (|\alpha_{\nu}^{\mu}|^2 = \lambda_{\nu}^{\mu})。定义算子 (A) 为：
(A \equiv \sum_{\mu,\nu} \alpha_{\nu}^{\mu} |\mu\rangle\langle\nu|)，则 POVM 可写为 (E_{\nu} = \sum_{\mu} A_{\mu\nu} A_{\