latex公式：列向量、矩阵、方程组

注释

<!--
你好
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多个公式并列

$$\begin{array}{rl}TF-IDF& =TF\ast IDF\\ & =\frac{N}{文本总的单词个数}\ast lo{g}_2(\frac{文本总数}{包含这个单词的文本数量})\end{array}$$

$$
\begin{aligned}
TF-IDF &=TF*IDF \\
  &= \frac{N}{文本总的单词个数}*log_2(\frac{文本总数}{包含这个单词的文本数量})
  \end{aligned}
$$

花括号

$$\begin{array}{r}\underset{\text{total}}{\underbrace{a+\stackrel{=t}{\overbrace{b+\cdots }}+z}}a+{\overbrace{b+\cdots }}^{126}+z\end{array}$$
代码：

\begin{aligned}
\underbrace{a + \overbrace{b+\cdots}^{=t}+z}_{\text{total}} ~~ a +             {\overbrace{b+\cdots}}^{126}+z
\end{aligned}

$$m\{\stackrel{n}{\overbrace{\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& \\ ⋮& \cdots & \ddots & ⋮& \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}& \end{array}}}$$

代码：

m\left\{\overbrace{
	\begin{array}
	{cccc}
	a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
	a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
	\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&\\
	a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\
	\end{array}
	}^{n}
	\right.

$${\mathbb{R}}^{m\ast n_{m=9947\ast n=15774}}=\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& \\ ⋮& \cdots & \ddots & ⋮& \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}& \end{array}$$
代码：

	\mathbb{R}^{m*n_{m=9947*n=15774}}=\begin{array}
	{cccc}
	a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
	a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
	\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&\\
	a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\
	\end{array}

矩阵字母表示，双R表示

$\mathbb{R}^{9947*15774}$

${\mathbb{R}}^{9947\ast 15774}$

分数公式

$$TF=\frac{1}{2}$$

$$
TF=\frac{1}{2}
$$

通过\frac来实现

矩阵

$$\begin{array}{r}m\{\stackrel{n}{\overbrace{\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& \\ ⋮& \cdots & \ddots & ⋮& \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}& \end{array}}}\end{array}$$
代码：

\begin{aligned}
	m\left\{\overbrace{
	\begin{array}
	{cccc}
	a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
	a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
	\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&\\
	a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\
	\end{array}
	}^{n}
	\right.
	  \end{aligned}

$$\begin{array}{r}{\mathbb{R}}^{m\ast n}=\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& \\ ⋮& \cdots & \ddots & ⋮& \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}& \end{array}\end{array}$$

代码：

\begin{aligned}
	\mathbb{R}^{m*n}=\begin{array}
	{|cccc|}
	a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
	a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
	\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&\\
	a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\
	\end{array}
	  \end{aligned}

向量

$$\begin{array}{r}y=\begin{array}{cc}{y}_1& \\ y_2& \\ ⋮& \\ y_n& \end{array}\end{array}$$

源码如下：

$$
\begin{aligned}
y=
    \begin{array}
	{|c|}
	y_{1} \\
	y_{2}\\
	\vdots&\\
	y_{n}
	\end{array}
\end{aligned}
$$

方程组

$$\{\begin{array}{l}w+b=3\\ 2w+b=8\end{array}$$

latex 公式为：

$$
\left\{
    \begin{array}{l}
            w+b=3 \\  
            2w+b=8
        \end{array}
\right.
$$

表格

这其实是markdown的表格格式，比latex要简单一些

字段名称	类型	描述	说明
content_id	Int	数据ID	/
content	String	文本内容	/
subject	String	主题	提取或依据上下文归纳出来的主题
sentiment_value	Int	情感分析	分析出的情感
sentiment_word	String	情感词	情感词

| 字段名称        | 类型   | 描述     | 说明                           |
|-----------------|--------|----------|--------------------------------|
| content_id      | Int    | 数据ID   | /                              |
| content         | String | 文本内容 | /                              |
| subject         | String | 主题     | 提取或依据上下文归纳出来的主题 |
| sentiment_value | Int    | 情感分析 | 分析出的情感                   |
| sentiment_word  | String | 情感词   | 情感词                         |

字母下边有下标

$$\underset{a<x<b}{\max }$$

公式中空格

两个quad空格	a \qquad b	两个m的宽度
quad空格	a \quad b	一个m的宽度
大空格	a\ b	1/3m宽度
中等空格	a;b	2/7m宽度
小空格	a,b	1/6m宽度
没有空格	ab	正常
紧贴	a!b	缩进1/6m宽度

\qquad 的效果如下，空格还是挺大的。

$$
a \qquad b  
$$

$$ab$$

字母上有特殊符号

在使用MarkDown写笔记的时候，常常遇到公式中字母带有头顶符号的，如箭头，波浪线和角号等，在此记录下。
角号 $\hat{a}$ 或 $\hat{a}$ \hat{a}$ 或 $\widehat{a}

右箭头$\overrightarrow{b}$ \stackrel{\rightarrow}{b}

左箭头$\overleftarrow{b}$ \stackrel{\leftarrow}{b}

横线 $\overline{c}$\overline{c}

一个点$\dot{d}$ \dot{d}

二个点$\ddot{d}$ \ddot{d}

波浪线 $\tilde{e}$或者$\widetilde{EE}$ \tilde{e}$或者$\widetilde{EE}

分段函数

$$y=\{\begin{array}{ll}0& \text{x=0}\\ 1& \text{x!=0}\end{array}$$

$$
y =
\begin{cases}
0& \text{x=0}\\
1& \text{x!=0}
\end{cases}
$$

另一种形式

$$f(x)=\{\begin{array}{rlr}x& =& \cos (t)\\ y& =& \sin (t)\\ z& =& \frac{x}{y}\end{array}$$

$$
f(x)=\left\{
\begin{aligned}
x & = & \cos(t) \\
y & = & \sin(t) \\
z & = & \frac xy
\end{aligned}
\right.
$$

导数

看下效果
$$f(x+\Delta x)\approx f(x)+f^{{}^{\prime }}(x)\Delta x+\frac{1}{2}{f}^{{}^{\prime \prime }}(x)\Delta x^2$$

f(x+\Delta{x}) \approx f(x)+f^{'}(x)\Delta{x}+\frac{1}{2}f^{''}(x)\Delta{x}^2

f^{’}可以表示为$f^{{}^{\prime }}$，另一种符号表示形式为: f^{\prime} ，效果$f^{\prime }$，另一种写法就是：
$$\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}$$

$$
\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y}
$$

其中$\partial$：\partial

大括号

$$\left[x\right]$$

$$
 \bigg [ x  \bigg ]
$$

字母下划线

$\underset{a_i>0}{\max }$

$\max \limits_{a_i>0}$

大于等于、小于等于

\ge
\le

效果看这里：$\ge ,\le$

无穷大、无穷小

正负无穷：$\pm \infty$
正无穷：$+\infty$
负无穷：$-\infty$

正负无穷：$\pm \infty$
正无穷：$+ \infty$
负无穷：$- \infty$

集合关系

属于：\in

效果：$a\in A$

不属于：\notin

效果：$b\notin A$

连乘 符号

\prod_{i=0}^n
$$\prod _{i=0}^n$$

中心点

$K_{ij}=\varphi (x_i)\cdot \varphi (x_j)$

$K_{ij}=\phi(x_i)  \cdot \phi(x_j)$