13、一维拉格朗日单元应用中的有限元分析

一维拉格朗日单元应用中的有限元分析

1. 系统矩阵与温度、热流计算

在有限元分析中，将对流矩阵组合到传导矩阵中可得到系统矩阵：
[
\begin{bmatrix}
\frac{kA}{L} & -\frac{kA}{L} \
-\frac{kA}{L} & (\frac{kA}{L} + Ah)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_1 \
u_2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-kA\frac{\partial u}{\partial x}(0) \
Ahu_{\infty}
\end{bmatrix}
]
利用此矩阵可获得精确的表面温度，进而计算通过壁面的热流。需要注意的是，面积在计算过程中会被消去。当已知 (u_1) 时，通过第二行可得到内壁面温度：
[
[( \frac{kA}{L} + Ah)]{u_2} = {Ahu_{\infty}} - u_1{-\frac{kA}{L}}
]
即
[
{u_2} = \frac{Lhu_{\infty} + u_1k}{Lh + k}
]
代入给定的数值，可算出 (u_2 = 110^{\circ}C)。维持指定内部温度所需的热流反应为：
[
\frac{kA}{L}[u_1 - u_2] = -kA\frac{\partial u}{\partial x}(0)
]
经过计算可得 (-kA\frac{\partial