打鼹鼠

题目:

题目背景
SuperBrother在机房里闲着没事干(再对比一下他的NOIP,真是讽刺啊......),于是便无聊地开始玩“打鼹鼠”......

题目描述
在这个“打鼹鼠”的游戏中,鼹鼠会不时地从洞中钻出来,不过不会从洞口钻进去(鼹鼠真胆大……)。
洞口都在一个大小为n(n<=1024)的正方形中。这个正方形在一个平面直角坐标系中,左下角为(0,0),右上角为(n-1,n-1)。
洞口所在的位置都是整点,就是横纵坐标都为整数的点。
而SuperBrother也不时地会想知道某一个范围的鼹鼠总数。
这就是你的任务。

输入输出格式
输入格式:
每个输入文件有多行。
第一行,一个数n,表示鼹鼠的范围。
以后每一行开头都有一个数m,表示不同的操作: m=1,那么后面跟着3个数x,y,k(0<=x,y<n),表示在点(x,y)处新出现了k只鼹鼠; m=2,那么后面跟着4个数x1,y1,x2,y2(0<=x1<=x2<n,0<=y1<=y2<n),表示询问矩形(x1,y1)-(x2,y2)内的鼹鼠数量; m=3,表示老师来了,不能玩了。保证这个数会在输入的最后一行。
询问数不会超过10000,鼹鼠数不会超过maxlongint。

输出格式:
对于每个m=2,输出一行数,这行数只有一个数,即所询问的区域内鼹鼠的个数。

输入输出样例
输入样例#1: 
4
1 2 2 5
2 0 0 2 3
3
输出样例#1: 
5

思路:
二维树状数组。

代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define lowbit(x) (x&-x)

#define ll long long
#define db double

void readc(char& x) {
    while(!isalpha(x)) x=getchar();
}

void read(int& x) {
    scanf("%d",&x);
}

void writell(ll x) {
    printf("%lld",x);
}

void write(int x) {
    printf("%d",x);
}

void writen() {
    printf("\n");
}

void writew() {
    printf(" ");
}

#define maxn 1024

int n;
int a[maxn+5][maxn+5];

void add(int x,int y,int k) {
    while(x<=n) {
        int yy=y;
        while(y<=n) {
            a[x][y]+=k;
            y+=lowbit(y);
        }
        x+=lowbit(x);
        y=yy;
    }
}

int sum(int x,int y) {
    int s=0;
    while(x>0) {
        int yy=y;
        while(y>0) {
            s+=a[x][y];
            y-=lowbit(y);
        }
        x-=lowbit(x);
        y=yy;
    }
    return s;
}

int main() {
    read(n);
    int opr;
    while(~scanf("%d",&opr)&&opr!=3) {
        if(opr==1) {
            int x,y,k;
            read(x);read(y);read(k);
            x++,y++;
            add(x,y,k);
        } else {
            int x,y,s,t;
            read(x);read(y);read(s);read(t);
            x++,y++,s++,t++;
            write(sum(s,t)-sum(s,y-1)-sum(x-1,t)+sum(x-1,y-1));writen();
        }
    }

    return 0;
}
<think>好的,我需要解决一个关于根据幼虫标签确定堆编号n和每堆数量ai的算法问题。首先,得理解问题需求。用户提到的幼虫标签可能是一个唯一的标识符,用来确定该幼虫属于哪个堆,以及该堆的总数量ai。这可能类似于在多个分组中查找某个元素所属的分组及其分组大小。 首先,我需要明确输入和输出。输入是幼虫的标签,输出是堆编号n和该堆的数量ai。假设每个堆有一个唯一的编号n,并且每个堆包含ai个幼虫。标签可能是连续分配的,也可能是某种编码结构。比如,标签可能按照堆的顺序分配,比如第一堆的标签从1到a1,第二堆从a1+1到a1+a2,依此类推。这种情况下,可以通过累加每堆的数量直到找到包含该标签的堆。 例如,假设堆的数量数组为a = [a1, a2, ..., an],那么标签k所在的堆n是满足sum(a1到a(n-1)) < k <= sum(a1到an)的最小n。这类似于前缀和数组的搜索问题。 接下来,如何高效地实现这个算法?如果堆的数量数组很大,直接遍历每个堆累加可能效率低下,应该用二分查找来优化。首先计算前缀和数组,然后对前缀和进行二分查找,找到第一个大于或等于标签k的位置,该位置即为堆的编号n。 不过,用户提到每堆的数量ai可能不是已知的,或者可能需要根据标签动态计算?如果ai是动态生成的,比如遵循某种规律,比如斐波那契数列或其他模式,那么可能需要不同的方法。但根据问题描述,可能假设ai是已知的数组,或者作为输入的一部分。 假设用户提供的ai数组已知,那么算法步骤大致如下: 1. 输入:幼虫标签k,堆的数量数组a。 2. 计算前缀和数组prefix_sum,其中prefix_sum[i] = a1 + a2 + ... + ai。 3. 使用二分查找在prefix_sum中找到最小的i,使得prefix_sum[i] >= k。 4. 堆编号n = i + 1(因为数组索引从0开始),该堆的数量ai = a[i]。 需要考虑边界情况,比如k为0或超过总和的情况,此时应返回错误或提示。 另外,如果堆的数量数组不是预先计算的,而是动态生成的,比如根据某种规则确定每堆的大小,那么需要根据规则生成ai,直到累加和超过k。例如,如果每堆的数量是固定的,如每堆都是m个,那么堆编号n = ceil(k/m),ai = m。或者如果是递增的,如ai = i,则需要动态计算前缀和。 但根据问题描述,可能用户希望根据给定的ai数组来确定堆编号。因此,算法应基于前缀和的二分查找实现。 例如,给定a = [3,5,7,2],前缀和为[3,8,15,17]。标签k=6,那么前缀和中第一个大于等于6的是8,对应索引1,堆编号n=2,ai=5。 现在需要将这个逻辑转化为代码。Python的实现可能如下: 首先构建前缀和数组,然后使用bisect模块的bisect_left函数进行查找。 例如: import bisect def find_heap(label, a): prefix = [] total = 0 for num in a: total += num prefix.append(total) # 查找第一个大于等于label的位置 index = bisect.bisect_left(prefix, label) if index < len(prefix): return index + 1, a[index] else: return None # 超出范围 但需要处理标签从1开始的情况。例如,如果标签是1到总数量,则正确。例如a=[3,5,7,2],总共有17个标签。如果用户输入的标签是0或者超过17,则需要处理异常。 此外,如果堆的编号n从1开始,那么index+1是正确的。例如,第一个堆的索引是0,对应n=1。 测试用例:假设a = [3,5,7,2],标签k=4: prefix数组是[3,8,15,17],bisect_left查找4,返回1,因为3<4<=8。因此堆编号是2,ai=5。但k=4是否在第二个堆?第一个堆的标签是1-3,第二个是4-8,所以是的。 这样算法是正确的。 另一种情况,如果用户给出的ai是每堆的数量,但可能不预先知道,而是动态生成,比如ai根据某种规则生成,这时候需要动态计算前缀和直到找到包含标签的堆。例如,如果每堆的数量是i^2,那么需要生成堆直到前缀和超过标签k。 但问题描述中用户可能希望根据给定的ai数组来处理,因此上述方法是可行的。 总结,算法步骤为: 1. 构建前缀和数组。 2. 使用二分查找确定堆的位置。 3. 返回堆编号和该堆的数量。 现在需要考虑如何将这个过程用代码实现,并处理可能的错误情况。 可能还需要考虑性能问题,如果a数组很大,每次构建前缀和可能效率不高,但如果该函数需要多次调用,可能需要预先生成前缀和数组并缓存。但如果每次调用时a数组不同,那么每次都需要重新构建前缀和。 因此,代码实现如上所述,使用bisect模块进行高效查找。</think>要确定幼虫标签对应的堆编号 $n$ 和该堆的数量 $a_i$,可以采用以下步骤: ### 算法思路 1. **前缀和数组构建**:根据每堆的数量 $a_i$,构建前缀和数组,表示前 $i$ 堆的总数量。例如,若 $a = [3, 5, 7, 2]$,则前缀和为 $[3, 8, 15, 17]$。 2. **二分查找定位堆**:利用二分查找在前缀和数组中快速找到第一个大于等于标签值的索引,该索引对应堆编号 $n$。例如,标签 $k=6$ 对应前缀和数组中的索引 $1$(值为 $8$),因此堆编号为 $2$,数量 $a_i=5$。 3. **边界处理**:若标签超出总和范围,需返回错误提示。 ### 代码实现 ```python import bisect def find_heap_info(label, heap_sizes): # 生成前缀和数组 prefix_sums = [] current_sum = 0 for size in heap_sizes: current_sum += size prefix_sums.append(current_sum) # 处理标签越界情况 if label < 1 or label > prefix_sums[-1]: return None, None # 或抛出异常 # 二分查找定位堆索引 index = bisect.bisect_left(prefix_sums, label) # 堆编号从1开始,返回堆编号和对应数量 return index + 1, heap_sizes[index] # 示例用法 heap_sizes = [3, 5, 7, 2] label = 6 n, ai = find_heap_info(label, heap_sizes) print(f"标签 {label} 属于第 {n} 堆,该堆数量为 {ai}") ``` ### 示例分析 - **输入**:`heap_sizes = [3, 5, 7, 2]`,标签 `label = 6` - **前缀和数组**:`[3, 8, 15, 17]` - **二分查找结果**:索引 `1`(前缀和 `8` 是第一个大于等于 `6` 的值) - **输出**:堆编号 `2`,该堆数量 `5` ### 性能优化 - **时间复杂度**:构建前缀和数组为 $O(m)$,二分查找为 $O(\log m)$,总体效率较高($m$ 为堆的数量)[^5]。 - **适用性**:适用于静态堆数量分配。若堆数量动态生成(如按规则递增),需调整前缀和生成逻辑。 ### 边界情况处理 - **标签越界**:若标签超出总数量范围(如 `label=0` 或 `label=18`),返回 `None` 或抛出异常。 - **空堆处理**:若输入堆数组为空,需提前判断。
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