7-1 是否完全二叉搜索树 (30分)

将一系列给定数字顺序插入一个初始为空的二叉搜索树（定义为左子树键值大，右子树键值小），你需要判断最后的树是否一棵完全二叉树，并且给出其层序遍历的结果。

输入格式：

输入第一行给出一个不超过20的正整数N；第二行给出N个互不相同的正整数，其间以空格分隔。

输出格式：

将输入的N个正整数顺序插入一个初始为空的二叉搜索树。在第一行中输出结果树的层序遍历结果，数字间以1个空格分隔，行的首尾不得有多余空格。第二行输出YES，如果该树是完全二叉树；否则输出NO。

输入样例1：

9
38 45 42 24 58 30 67 12 51

输出样例1：

38 45 24 58 42 30 12 67 51
YES

输入样例2：

8
38 24 12 45 58 67 42 51

输出样例2：

38 45 24 58 42 12 67 51
NO

 

 

 

 

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题解

这个题就是欺负人。你知道什么是二叉搜索树就能做，不知道就不能做。

 

二叉搜索树

二叉排序树（Binary Sort Tree），又称二叉查找树（Binary Search Tree），亦称二叉搜索树。是数据结构中的一类。在一般情况下，查询效率比链表结构要高。


一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

（2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；

（3）左、右子树也分别为二叉排序树；

（4）没有键值相等的结点。

来源：百度百科

 

就是在二叉树基础上的纵深的概念。

看了一遍，顺便按照案例再手写了几遍就能找到思路了。

没错，就是dfs建树。

cin>>root;            //读入的第一个就是根节点
	
for(int i=1;i<=N-1;i++)
{
	cin>item;
	dfs(item,root);
}

void dfs(int i,int root)        //模拟手写判断
{
	if(i>root)            //当前节点比根节点大(注意题中要求大的在左边)
	{
		if(p[root].l==0)	p[root].l = i;   //根节点没有左儿子则当前节点成为左儿子
		else		dfs(i,p[root].l);    //当前节点有左儿子，递归下去
	}
	else if(i<root)
	{
		if(p[root].r==0)	p[root].r = i;
		else		dfs(i,p[root].r);
	}
}

 

 

建好后一个难点就是判断是不是完全二叉树。

百度百科也有记载。

 

判断一棵树是否是完全二叉树的思路 

1>如果树为空，则直接返回错

2>如果树不为空：层序遍历二叉树

    2.1>如果一个结点左右孩子都不为空，则pop该节点，将其左右孩子入队列；

    2.1>如果遇到一个结点，左孩子为空，右孩子不为空，则该树一定不是完全二叉树；

    2.2>如果遇到一个结点，左孩子不为空，右孩子为空；或者左右孩子都为空；则该节点之后的队列中的结点都为叶子节点；该树才是完全二叉树，否则就不是完全二叉树；  


来源：百度百科 

 

 

于是就在队列输出层序遍历中添加了些东西。

 

ac代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct node{                //二叉树节点
	int l,r;
}p[200000];


void dfs(int i,int root)        //搭建树
{
	if(i>root)
	{
		if(p[root].l==0)	p[root].l = i;
		else		dfs(i,p[root].l);
	}
	else if(i<root)
	{
		if(p[root].r==0)	p[root].r = i;
		else		dfs(i,p[root].r);
	}
}

queue<int>q;
vector<int>vec;

int main()
{
	int N,item,root;
	cin>>N;
	
	cin>>root;
	
	for(int i=1;i<=N-1;i++)
	{
		cin>>item;
		dfs(item,root);
	}
	
	//层序遍历
	int flag=1,ye=0; 
	q.push(root);
	
	while(q.size())
	{
		int head = q.front();
		vec.push_back(head);
		if(p[head].l!=0 &&p[head].r!=0)    //用于判读是否是完全二叉树(完全依托百科思路)
		{
			q.push(p[head].l);        //左右儿子全有
			q.push(p[head].r);
			if(ye!=0)	flag=0;
		}
		else if(p[head].l==0&&p[head].r!=0)
		{
			q.push(p[head].r);        //只有右儿子，直接判错
			flag = 0;
		}
		else if(p[head].l!=0 && p[head].r==0)
		{
			q.push(p[head].l);
			if(ye!=0)	flag=0;
			ye++;	//开启--->开启之后就只能接收无子节点，一旦遇到其他的就不是完全二叉                    
		}                //ye非0就是开启了(第3/4种都可以开启)
		else
		{
			ye++;	//开启 
		}
		
		q.pop();	
	} 
	
	for(int i=0;i<vec.size();i++)
	{
		if(i==0)	cout<<vec[i];
		else		cout<<" "<<vec[i];
	}
	cout<<endl;
	//判断完全二叉树 
	if(flag==1)		cout<<"YES\n";
	else			cout<<"NO\n";
	
	return 0;
	
}

 

 

但是啊，兄弟们，有木有觉得这个完全二叉树判断写起来很费劲呢？

我是真的感觉费劲，要想好多，还要调试，我才过得。

 

我在网上找到了更好的办法。

链接：https://blog.youkuaiyun.com/wangjingyihhh/article/details/84501154

虽然它用的是指针，但可以吸收思想。

 

新的判断思路：

队列一步步向下走时，将当前节点的左右子树都加入队列(哪怕它没有，也就是为0)，直到队首节点为0，遍历结束。

此时，若所有题中节点已被遍历(队列经过N个点)，则是完全二叉树。

若还有题中节点未被遍历，则不是完全二叉树。

手写画画自可发现其正确性。

所以，我只需要进行记数，最后与N进行比对就好啦。

 

我想把记数写入层序遍历，使代码得到体量上的最大优化。却产生了有问题的代码。

问题代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct node{                //二叉树节点
	int l,r;
}p[200000];


void dfs(int i,int root)        //搭建树
{
	if(i>root)
	{
		if(p[root].l==0)	p[root].l = i;
		else		dfs(i,p[root].l);
	}
	else if(i<root)
	{
		if(p[root].r==0)	p[root].r = i;
		else		dfs(i,p[root].r);
	}
}

queue<int>q;
vector<int>vec;

int main()
{
	int N,item,root;
	cin>>N;
	
	cin>>root;
	
	for(int i=1;i<=N-1;i++)
	{
		cin>>item;
		dfs(item,root);
	}
	
	//层序遍历
	int cou=0; 
	q.push(root);
	
	while(q.size())
	{
		int head = q.front();
		if(head==0)	break;
		
		cou++;
		vec.push_back(head);
		
		q.push(p[head].l);
		q.push(p[head].r);
		
		q.pop();	
	} 
	
	for(int i=0;i<vec.size();i++)
	{
		if(i==0)	cout<<vec[i];
		else		cout<<" "<<vec[i];
	}
	cout<<endl;
	//判断完全二叉树 
	if(cou==N)		cout<<"YES\n";
	else			cout<<"NO\n";
	
	return 0;
	
}

经过检查，这个break，能够保证跳出循环，使cou不再增加，最终参与判断。

但若题中为非完全二叉树，这个break就会导致有一些数据还没有经层序遍历就结束了，最终的层序遍历就会少几个数。

 

为了避免这一点，我只能写两次遍历，一个遍历，一个判断。我把判断封装成了函数。

 

新的ac代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int cou=0;	//判断 

struct node{
	int l,r;
}p[200000];

queue<int>q;
vector<int>vec;

void dfs(int i,int root)
{
	if(i>root)
	{
		if(p[root].l==0)	p[root].l = i;
		else		dfs(i,p[root].l);
	}
	else if(i<root)
	{
		if(p[root].r==0)	p[root].r = i;
		else		dfs(i,p[root].r);
	}
}

void judge(int root)
{
	q.push(root);
	
	while(q.size())
	{
		int head = q.front();
		if(head==0)		break;
		
		cou++;
		q.push(p[head].l);
		q.push(p[head].r);
		
		vec.push_back(head);
		q.pop();	
	} 
}



int main()
{
	int N,item,root;
	cin>>N;
	
	cin>>root;
	
	for(int i=1;i<=N-1;i++)
	{
		cin>>item;
		dfs(item,root);
	}
	
	//层序遍历
	q.push(root);
	
	while(q.size())
	{
		int head = q.front();
		
		if(p[head].l!=0)	q.push(p[head].l);
		if(p[head].r!=0)	q.push(p[head].r);
		
		vec.push_back(head);
		q.pop();	
	} 
	
	for(int i=0;i<vec.size();i++)
	{
		if(i==0)	cout<<vec[i];
		else		cout<<" "<<vec[i];
	}
	cout<<endl;
	
	judge(root);
	//判断完全二叉树 
	if(cou==N)		cout<<"YES\n";
	else			cout<<"NO\n";
	
	return 0;
	
}