16、基于Krylov子空间方法的马尔可夫链模型检查

基于Krylov子空间方法的马尔可夫链模型检查

1. 误差估计

Saad的第二种估计是一个粗略估计，它将方程(4)级数中的φ₁(Hₘ)替换为eᴴₘ来定义误差估计，原因是eᴴₘ计算成本更低且已被计算出来，得到的误差估计如下：
[
\frac{h_{m + 1,m}}{\left\lVert e_{m}^{T}e^{H_{m}}\right\rVert_{2}\left\lVert v\right\rVert_{2}}\left\lVert e_{1}v_{m + 1}\right\rVert
]

Saad未充分论证用eᴴₘ近似φ₁(Hₘ)的安全性。实际上，eᴴₘ总是大于φ₁(Hₘ)，证明如下：
φᵢ(z)的第一个递推式可逐步推导为如下级数：
[
\varphi_{1}(z)=\frac{e^{z}-1}{z}=\frac{1}{z}\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k!}=\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{z^{k - 1}}{k!}=\sum_{k = 0}^{\infty}\frac{z^{k}}{(k + 1)!}
]
很明显，最右边的方程总是小于eᶻ的泰勒 - 麦克劳林级数。Saad的实验数据表明，上述误差估计是实际误差的有界过估计，但这一结果未被证明。不过，实验显示它是一个不错的估计，因此在实验评估中被用作误差估计。

2. 实验部分

为了比较基于Krylov子空间方法计算连续时间马尔可夫链（CTMC）瞬态分布与基于均匀化方法的差异，我们在马尔可夫奖励模型检查器（MRMC）中实现了前者，MRMC默认的数值引擎是均匀化方