62、科普：Koopman线性化系统的可达性分析与验证

科普：Koopman线性化系统的可达性分析与验证

在动态系统的研究中，对系统的可达性分析和验证是至关重要的。可达性分析能够帮助我们了解系统在一定时间内可能到达的状态集合，而验证则是判断系统是否满足特定的安全规范。本文将介绍一种针对Koopman线性化系统的可达性分析和验证方法，其中涉及随机傅里叶特征观测器和多项式区域细化策略，旨在提高分析的准确性和效率。

1. 随机傅里叶特征观测器

随机傅里叶特征是一种选择有限准确观测器的系统方法，仅需少量超参数。这些超参数包括所使用的核函数类型、核参数以及观测器的数量。在数值实验中，我们使用径向基函数核：
[k(x, y) = e^{-\frac{|x - y|^2}{2\ell^2}}]
其中，(\ell) 是唯一的参数，该核函数的概率分布 (\mu(\omega)) 是以原点为中心、协方差矩阵为 (\ell^2 \cdot I_n) 的多元正态分布。

尽管随机选择观测器乍一看似乎是一个缺点，但随机傅里叶特征近似在增加观测器数量时能够保证收敛到精确的核函数。此外，数值实验表明，(b_i) 和 (\omega_i) 值的变化对线性近似的准确性影响不大。

2. 可达性分析验证算法

我们提出了一种用于Koopman线性化系统的新型验证算法，总结如下：

Algorithm 1. Verification of Koopman linearized systems
Require: Koopman linearized system ˙g(x) = A g(x), initial set X0, final