27、数据驱动的Koopman分析：原理、方法与应用

数据驱动的Koopman分析：原理、方法与应用

1. Koopman分析基础

Koopman分析与哈密顿系统的相空间体积守恒特性直观相关。在早期研究中，Koopman将其特征值谱与守恒量、可积性和遍历性建立了联系。并且，他1931年的论文在伯克霍夫和冯·诺伊曼对遍历定理的著名证明中起到了核心作用。

Koopman算子也被称为复合算子，它是标量可观测函数空间上的拉回算子，是Perron - Frobenius算子（概率密度函数空间上的前推算子）的对偶或左伴随。当选择多项式基来表示Koopman算子时，它与Carleman线性化密切相关，而Carleman线性化在非线性控制中应用广泛。此外，Koopman分析还与流体动力学中的预解算子理论有关。

从理论框架来看，算子理论框架补充了传统的几何和概率观点。例如，Koopman特征函数的水平集形成动力系统状态空间的不变划分，特征函数可用于分析遍历划分。同时，Koopman分析还将Hartman - Grobman定理推广到稳定或不稳定平衡点或周期轨道的整个吸引域。

然而，目前对于一般动力系统，表示Koopman特征函数仍然是一个核心的未解决挑战。大量研究致力于开发数据驱动技术来识别Koopman特征函数并用于控制，近期也出现了利用深度学习从数据中发现和表示特征函数的新工作。

2. 数据驱动的Koopman分析方法

2.1 扩展动态模式分解（Extended DMD）

扩展DMD算法本质上与标准DMD相似，但它不是对状态的直接测量进行回归，而是对包含状态非线性测量的增广向量进行回归。其步骤如下：
1. 构建增广状态：
- (y = \v