61、利用随机傅里叶特征可观测量和多项式 zonotope 细化的 Koopman 线性化系统可达性分析

利用随机傅里叶特征可观测量和多项式 zonotope 细化的 Koopman 线性化系统可达性分析

1 引言

尽管近年来取得了一些进展，但由非线性常微分方程描述的系统仍然难以分析、控制和验证。而线性系统则有强大的方法和理论体系，使得分析、控制和验证变得更加容易，即使是高维系统也是如此。线性系统可达性分析技术的高效性促使人们使用 Koopman 算子线性化，即用高维线性系统来近似非线性系统的动态行为。

Koopman 算子技术也非常适合数据驱动的方法，因为 Koopman 线性化系统可以直接从测量数据中创建，从而绕过了可能复杂的建模步骤。Koopman 框架已成功应用于许多领域，包括控制、状态估计和形式验证。

本文的主要贡献是推进在 Koopman 算子线性化系统上使用可达性分析进行形式验证的技术水平。首先，通过采用随机傅里叶特征来提高有限 Koopman 线性化的准确性。与临时的有限维特征空间不同，随机傅里叶特征利用机器学习中的核技巧，在无限维特征空间上生成可计算的映射。其次，提高验证速度。我们提出将泰勒模型与多项式 zonotope 细化相结合，而不是使用 SMT 求解器来处理非凸初始集。

1.1 相关工作

Koopman 算子线性化的概念最早于 1931 年被引入。该方法不直接研究原始系统状态的动态演化，而是考虑由原始系统状态的非线性变换定义的所谓可观测量函数的演化。由于所有可能的可观测量定义了一个向量空间，因此每个非线性系统的动态行为都可以等效地由一个无限维线性系统表示。但在实际应用中，由于处理无限维是不可行的，因此通常使用有限的可观测量集。给定这样一个集合，可以使用扩展动态模式分解来确定能最准确地线性近似原始系统行为的系统矩阵。