15、图像去噪算法：ROF模型与非局部均值滤波

图像去噪算法：ROF模型与非局部均值滤波

在图像去噪领域，为了获得高质量的去噪图像，研究者们不断探索和改进各种算法。本文将深入探讨两种重要的图像去噪方法：基于变分法的ROF模型和非局部均值（NLM）滤波算法。

1. 变分法与ROF模型

变分法在图像去噪中有着重要的应用，它将维纳滤波图像去噪问题借助正则化函数转化为全变差优化问题。

1.1 ROF算法中的全变差函数

在ROF算法中，全变差函数$V(g)$被选为$g$的梯度，即$\nabla g$。其定义为：
$\nabla g = [\frac{\partial g}{\partial m}, \frac{\partial g}{\partial n}]^T = [g_m, g_n]^T$
其中，$g_m$和$g_n$是相应的偏导数。$\nabla g$的范数$|\nabla g|$为：
$|\nabla g| = \sqrt{(\frac{\partial g}{\partial m})^2 + (\frac{\partial g}{\partial n})^2} = (g_m^2 + g_n^2)^{\frac{1}{2}}$
在图像边缘附近，$|\nabla g|$值较大，优化过程会使$g[m, n]$接近$f[m, n]$，从而保留去噪图像中的边缘信息。而在噪声污染的低变化区域，$|\nabla g|$值较小，优化过程可以在保持$g$和$f$一定差异的同时，找到使$|\nabla g|$最小的$g[m, n]$。参数$\lambda$可以调节边缘保留性能，$\lambda$越大，边缘保留效果越好，但也会导致较大的残留噪声。

1.2 优化函数