13、图像降噪：基于奇异值分解的方法及随机算法

图像降噪：基于奇异值分解的方法及随机算法

1. 奇异值分析与噪声贡献

在图像降噪领域，对加性高斯白噪声（AWGN）污染的图像进行奇异值分析是关键的一步。通过观察图像奇异值曲线，可以发现曲线的第二部分和第三部分与噪声信号的奇异值曲线紧密跟随。这意味着AWGN污染的雕塑图像的这些奇异值很可能是由噪声贡献的。

从理论上讲，将AWGN投影到任何正交系统上都会得到一组投影系数，且所有系数具有相同的功率，这就是AWGN信号的傅里叶频谱为一条平直线的原因。然而，在实际图像中，奇异值的平方并不具有相同的大小，而是呈现单调递减的特性。这是由于高斯随机矩阵奇异值的顺序统计特性，即使是随机数在排序后也会呈现单调特性。

同时，无噪声雕塑图像的奇异值平方曲线（图4.1(c)中的虚线）表明，AWGN污染图像奇异值平方曲线的第一部分主要由图像信号贡献。尽管自然图像通常具有低秩特性，即应该只有有限个非零奇异值，但无噪声图像曲线中仍有很大一部分值低于10⁶，虽然比AWGN曲线中的奇异值平方小一个数量级，但仍不为零。实际上，这些奇异值是雕塑图像中背景噪声的结果，所有自然图像都存在这种背景噪声，不过由于其比AWGN小很多，在降噪算法中忽略它们不会影响降噪图像的质量。

2. 通过AWGN分析进行阈值降噪

从图4.1(c)可以直观地观察到，噪声信号和相应的噪声图像存在截点。在截点左侧，图像信号功率大于噪声功率；在截点右侧，噪声功率大于图像信号功率。根据相关理论，通过将AWGN污染图像中截点右侧的所有奇异值替换为零，可以实现完美降噪，这对应于公式4.2中的硬阈值处理过程。重构后的图像将是相对于公式4.1的最佳降噪图像。

为了确定最佳的低秩近似，需要选择一个阈值