5、不相交路径分配问题的带建议优先级算法

不相交路径分配问题的带建议优先级算法

1. 预备知识

在将优先级框架应用于在线问题 DPA 时，有一个微妙之处需要考虑。我们不希望 DPA 优先级算法接收的第一个输入项（即定义给定实例的基础图 G）成为可以分配优先级的请求。因此，我们将优先级问题 DPA 的请求定义为 $[x, y]_G$ 的形式，其中 $G = (V, E)$ 是某个图，$x \neq y \in V$，并且将 $[x, y]_G$ 与 $[y, x]_G$ 视为相同。这样，基础图就不需要单独传达给算法。

通常，我们会根据基础图所属的图类来区分 DPA 问题的不同变体，例如路径类或树类。我们将所有可能请求的集合定义为 $U := { [x, y]_G | G \in \mathcal{G}, x \neq y \in V(G) }$，其中 $\mathcal{G}$ 是某个任意的图类。DPA 在 $\mathcal{G}$ 上的一个实例就是 $U$ 的一个子集 $I$，满足 $[x, y]_G, [v, w]_H \in I \Rightarrow G = H$，且同一请求在一个实例中不能出现两次。

DPA 的优先级算法会在 $U$ 上选择一个优先级顺序 $\prec$，然后实例 $I$ 会按照这个顺序呈现给算法，即 $\max_{\prec} I$ 最先呈现。固定优先级算法选择一个固定的顺序，而自适应优先级算法在每个请求之后选择一个新的顺序。为了简化表示，我们假设 $\prec$ 是全序，但实际上我们并不关心定义在不同图上的请求之间的顺序关系，因为这些请求不会出现在同一个实例中。

如果每个图 $G \in \mathcal{G}$ 都是无环的，我们可以简化设置。在这样的图中，路径由其端点唯