13、特殊模型与应用：从方差分量到三维图像重建

特殊模型与应用：从方差分量到三维图像重建

1. 特殊计算与方差分量分布

1.1 乔列斯基分解的近似计算

乔列斯基分解可以近似计算，例如通过以下方式：
$G_i = diag[\sqrt{p_{i11}}, \ldots, \sqrt{p_{in_ii}}]$，其中$P_i = (p_{ijk})$。由于结果可以通过$\sum_{i = 1}^{k} r_i = n - u$（来自(5.101)）进行检查和改进。将(5.107)中的对称矩阵代入(5.105)后，需要确定乘积$u’G_i’X_iN^{-1}X_i’G_iu$。为避免计算逆矩阵$N^{-1}$，定义未知参数向量$\delta_i = N^{-1}X_i’G_iu$，然后求解线性方程$N\delta_i = X_i’G_iu$得到$\delta_i$，进而得到$u’G_i’X_i\delta_i$。不同的独立样本向量$u$会给出不同的迹估计值，迹可通过均值获得。Golub和von Matt (1997)建议使用一个样本向量$u$来计算迹，Koch和Kusche (2002)发现这是足够的。

1.2 方差分量的分布

1.2.1 无信息先验

对于线性模型(5.92)，在没有先验信息的情况下，非信息先验密度函数$p(\sigma) \propto \prod_{i = 1}^{k} \frac{1}{\sigma_i^2}$。结合似然函数$p(y|\sigma) \propto \prod_{i = 1}^{k} (\frac{1}{\sigma_i^2})^{\frac{r_i}{2}} \exp(-\frac{1}{2\sigma_i^2}\hat{e}