在我们的定义中,定量分析是数学或统计学方法在市场数据上的应用。 ——John Forman
BSM定价模型的两个基本问题:
- 隐含波动率
以某些到期日的期权报价倒推出这些期权的隐含波动率,并汇出图表——这是期权交易者和风险管理者每天都要面对的任务。 - 蒙特卡洛模拟
欧式期权价值的计算。通过蒙特卡罗技术,模拟股票在一段时间中变化。
像Black-Scholes-Merton(1973)这样有深远影响的期权定价公式中,隐含波动率是在其他条件不变的情况下输入公式,得出不同期权行权价格和到期日测得市场报价的那些波动率值。
BSM公式(1-1)
C ( S t , K , t , T , r ) = S t ⋅ N ( d 1 ) − e − r ( T − t ) ⋅ K ⋅ N ( d 2 ) C(S_t,K,t,T,r)=S_t\cdot N(d_1)-e^{-r(T-t)} \cdot K\cdot N(d_2) C(St,K,t,T,r)=St⋅N(d1)−e−r(T−t)⋅K⋅N(d2)
N ( d ) = 1 2 π ∫ − ∞ d e − 1 / 2 x 2 d x N(d)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{d}{e^{-1/2}x^2}dx N(d)=2π1∫−∞de−1/2x2dx
d 1 = l o g ( s T / K ) + ( r + σ 2 / 2 ) ( T − t ) σ T − t d_1=\frac{log(s_T/K)+(r+\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} d1=σT−tlog(sT/K)+(r+σ2/2)(T−t)
d 2 = l o g ( s T / K ) + ( r − σ 2 / 2 ) ( T − t ) σ T − t d_2=\frac{log(s_T/K)+(r-\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} d2=σT−t