支持向量机浅析(1)：训练数据线性可分时的算法

例子
　　给定数据 $x^i$ 和标签 $y^i$，比如：

$x^i$	$y^i$
(2,3)	-1
(3,2)	-1
(5,7)	+1
(8,9)	+1

　　如何寻找一条直线

$$w_1x_1+w_2x_2+b=0\tag{1}$$
把这组点分开，使得两类之间间隔最大？

　　这个问题可归结为寻找分割线：$wx+b=1$和$wx+b=-1$。我们假设每个点都有标签$y^i$，满足下面约束条件：
　　对于所有使$y^i=1$的上标 $i$，有 $wx^i+b\ge1$;
　　对于所有使$y^i=-1$的上标 $i$，有 $wx^i+b\le-1$。
　　该约束条件等价于：

$$y^i(wx^i+b)\ge1, \ i = 1,2,...,l\tag{2}$$

数学模型

　　由于直线 $wx+b=1$和$wx+b=-1$ 之间的距离：

$$d=\frac2{\sqrt{w_1^2+w_2^2}}$$
　　间隔最大化实际上就是$\frac2{\sqrt{w_1^2+w_2^2}}$最大化，也就是$w_1^2+w_2^2$最小化。就本文例子来看，约束方程如下：

$$\tag{3} \begin{array}\\ \min & w_1^2+w_2^2\\ s.t. \\ &-2w_1-3w_2-b &\ge& 1\\ &-3w_1-2w_2-b &\ge& 1\\ &7w_1+8w_2+b &\ge& 1\\ &8w_1+9w_2+b &\ge& 1\\ \end{array}$$
　　显然这是二次规划问题。

　　习惯上，支持向量机的规划模型表述为下述形式：

$$\tag4 \min \frac12\|\textbf w\|^2 \ s.t., y_i(\textbf w \textbf x+ b_i) \ge 1, i=1,2,...,n$$ 　　

二次规划求解方法

　　不打算太过正式讨论二次规划求解方法，等我有时间全面搜集一下素材，专门讨论一下。二次规划求解算法的开源代码应该也容易找到，可能根本不需要自己动手写这些代码。这里简单说一下基本思路，不一定真有用，只能解决有强迫症的读者的思想性疑问。支持向量机给出的二次规划模型有一定特殊性，我会另写文章分析更好的求解方法。

　　对于数学规划问题而言，如果最优解落在可行域内部，则最优解通常是目标函数的无约束极值之一；否则，最优解应该落在可行域边界。如果不考虑(2)式的约束条件，它的唯一的一个无约束极值点显然是 $w_1=0,w_2=0$。依据(1)式，显然 $b=0$，这显然不符合后面的约束条件。好吧，既然无约束极值点落在了约束条件之外，那么，规划(3)的最优解一定落在可行域的边界上。比如第一条边界上的最优解可通过下面规划问题求得：

$$\begin{array}\\ \min & w_1^2+w_2^2\\ s.t. &-2w_1-3w_2-b &=& 1\\ \end{array}$$
　　最后把答案代入约束条件验证，即可求出最优解，详细步奏不再赘述。（其实这个过程还是有些复杂，我会在稍后的博文中讨论这个话题。）