本文通过实例详细解析线性规划中的单纯形方法，包括如何将问题转换为标准型，选择基变量与非基变量，以及迭代求解最优解的过程。
必须承认，上学的时候线性规划这门课完全没听懂。参加工作后，需要根据线性规划原理写一个算法，没办法，只好自己从头学，几经周折终于弄明白。感觉单纯形方法一节课足以讲明白，不知道教材为什么写得这么深奥难懂，而且竟然需要用一学年时间授课。
本文，我按自己的理解讲一下单纯形方法。我保证，稍加耐心看明白这篇文章，你能把单纯形算法DIY出来。
典范型
从一个实际例子开始讨论。
例1 求解下述LP问题最优解：
max z=2x1+3x2+4(1)\tag{1}
max \ \ z = 2x_1 + 3x_2 + 4
max z=2x1+3x2+4(1)
s.t.
{5x1+2x2≤403x1+5x2≤30−x1+3x2≤9x1,x2≥0(2)\tag{2} \begin{cases} & 5x_1 + 2x_2 &\le& 40 \\ & 3x_1 + 5x_2 &\le& 30\\ & -x_1 + 3x_2 &\le& 9 \\ & x_1 , x_2 &\ge& 0 \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧5x1+2x23x1+5x2−x1+3x2x1,x2≤≤≤≥403090(2)
LP问题有很多种表达形式，我比较喜欢上面这种，解的可行域差不多是上图这个样子，在这样一个可行域里，寻找目标函数的最大值。最优解通常位于可行域顶点位置。感觉上面这种表达形式比较符合直观想象。
本文中我们把上述形式的LP模型称为典范型。
标准型
约束条件(2)是不等式，引入松弛变量x3,x4,x5x_3,x_4,x_5x3,x4,x5将其变为等式。
max z=2x1+3x2+4(3)
max \ \ z = 2x_1 + 3x_2 + 4 \tag{3}
max z=2x1+3x2+4(3)
s.t.
{5x1+2x2+x3=403x1+5x2+x4=30−x1+3x2+x5=9x1,x2,x3,x4,x5≥0(4)
\begin{cases}\tag4
& 5x_1 + 2x_2 + x_3 &=& 40 \\
&3x_1 + 5x_2 + x_4&=& 30\\
&-x_1 + 3x_2 + x_5&=& 9 \\
& x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 & \ge & 0 \\
\end{cases}
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧5x1+2x2+x33x1+5x2+x4−x1+3x2+x5x1,x2,x3,x4,x5===≥403090(4)
上述表达形式称为LP问题的标准型，任何LP问题均可转化为标准型。如何把典范性转化为标准型，不是本文关注的问题，对此不展开讨论。需要关注的是， 约束条件中的五个变量，令它们分别等于零，则对应的图像是可行域的五条边界。 牢牢记住这一点，这是单纯形解法的关键，参见下图。
单纯形方法思路
单纯性的思路很简单，如果最优解唯一的话，它一定是可行域的一个顶点。
上面的例子中，可行域的顶点就是两条边界的交点。换句话讲，最优解的五个变量x1,...,x5x_1,...,x_5x1,...,x5中，一定有两个变量为零，其余的大于等于零。我们先从最简单的情况开始研究。
最简单的情形
例1修改一下，把目标函数的变量系数改成负数，其它条件不变。
例2 求解LP问题：
max z=−2x1−3x2+4(5)
max \ z = -2x_1 -3x_2 + 4 \tag{5}
max z=−2x1−3x2+4(5)
解：
由于目标函数的变量系数都是负数，很显然，x1,x2=0x_1,x_2=0x1,x2=0 时，目标函数取得最大值。
于是，毫无悬念，问题的解为：
x1=0,x2=0,z=4.
x_1=0,x_2=0,z=4.
x1=0,x2=0,z=4.
和几何解释结合起来，问题的最优解是直线x1=0,x2=0x_1=0,x_2=0x1=0,x2=0的交点。■\blacksquare■
问题再复杂一点点
如果目标函数中变量系数有大于零的怎么办？答案是通过更换变量，使系数小于零。下面例子中，x1x_1x1系数为正，显然x1=0x_1=0x1=0不再适合做此规划问题的最优解。于是我们要想办法选择一个合适的变量来置换x1x_1x1，具体方法参照下面的例子。
例3 求解LP问题：
max z=2x1−3x2+4(6)\tag6
max \ z = 2x_1 - 3x_2 + 4
max z=2x1−3x2+4(6)
s.t.
{5x1+2x2+x3=403x1+5x2+x4=30−x1+3x2+x5=9x1,x2,x3,x4,x5≥0(7)
\begin{cases}
5x_1 + 2x_2 + x_3 &=& 40\tag{7} \\
3x_1 + 5x_2 + x_4 &=& 30\\
-x_1 + 3x_2 + x_5 &=& 9 \\
x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 &\ge& 0
\end{cases}
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧5x1+2x2+x33x1+5x2+x4−x1+3x2+x5x1,x2,x3,x4,x5===≥403090(7)
解：
把约束方程(7)变换一下形式，用x1,x2x_1,x_2x1,x2表示其它变量：
{x3=−5x1−2x2+40x4=−3x1−5x2+30x5=x1−3x2+9(8)
\begin{cases}
x_3 &=& -5x_1-2x_2+40 \tag{8}\\
x_4 &=& -3x_1-5x_2+30 \\
x_5 &=& x_1-3x_2+9
\end{cases}
⎩⎪⎨⎪⎧x3x4x5===−5x1−2x2+40−3x1−5x2+30x1−3x2+9(8)
上述方程式左边的变量称为基变量，右边的变量称为非基变量。
寻求可行解
方程组右边的常数项都是非负的，这说明x1=0,x2=0x_1=0,x_2=0x1=0,x2=0时其他变量均非负，也就是说x1=0,x2=0x_1=0,x_2=0x1=0,x2=0是一组可行解。
注：本例有意忽略了可行解求法，后面会专门介绍可行解一般求法。
选择入基变量
目标函数中，非基变量x1x_1x1系数是正数，它的值越大，目标函数就越大。在单纯形方法中，非基变量最终总是要取零值的，因此，它作为非基变量不利于目标函数最大化。我们希望选择一个新的变量来置换它。这一步中，x1x_1x1称为入基变量。
选择出基变量
从基变量x3,x4,x5x_3,x_4,x_5x3,x4,x5选择出基变量，用于置换x1x_1x1。很显然，x5x_5x5不合适，因为在约束条件(8)中，它与x1x_1x1系数符号相同，把它放到目标函数中，它的系数仍然为正数。这不符合我们最初的想法。令其他两个个变量为零，看看x1x_1x1等于多少。
{x2=0,x3=0⇒ x1=−40/(−5)=8x2=0,x4=0⇒ x1=−30/(−3)=10\begin{cases}{}
x_2=0,x_3=0 &\Rightarrow& \ x_1 = -40 / (-5) = 8 \\
x_2=0,x_4=0 &\Rightarrow& \ x_1 = -30/(-3) = 10
\end{cases}
{x2=0,x3=0x2=0,x4=0⇒⇒ x1=−40/(−5)=8 x1=−30/(−3)=10
这两个解，我们肯定要选择绝对值较小的那个。为什么呢？因为如果选择较大的那个x1=10x_1=10x1=10（注：OA与CB的交点），也落到了可行域之外，只有最小的一个（A点）才恰好落在可行域的一个顶点上。
求最优解
x1,x3x_1,x_3x1,x3角色交换后，可以用x2,x3x_2,x_3x2,x3表示其他变量，于是得到：
x1=−25x2−15x3+8
x_1 = -\frac25x_2 -\frac15x_3 + 8
x1=−52x2−51x3+8
代入目标函数，得到：
max z=−195x2−25x3+20
max \ z = -\frac{19}5x_2 -\frac25x_3+20 \\
max z=−519x2−52x3+20
显然，当x2=0,x3=0x_2=0,x_3=0x2=0,x3=0时得到最优解 z=20z = 20z=20。■\blacksquare■
如何求初始可行解
前面看到如何根据第一个可行解逐步求初最优解，那么第一个可行解是如何求出来的呢？
例4 求下面LP最优解：
max z=2x1+3x2+4
max \ z = 2x_1 + 3x_2 + 4\\
max z=2x1+3x2+4
s.t.
{5x1+2x2≤403x1+5x2≤30−2x1+x2≤−1x1,x2≥0
\begin{cases}
5x_1 + 2x_2 &\le& 40 \\
3x_1 + 5x_2 &\le& 30\\
-2x_1 + x_2 &\le& -1 \\
x_1, x_2 &\ge& 0
\end{cases}
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧5x1+2x23x1+5x2−2x1+x2x1,x2≤≤≤≥4030−10
解：
x1=0,x2=0x_1=0,x_2=0x1=0,x2=0不是可行解，我们需要研究如何寻找初始基础可行解。
问题转化成标准型，
{5x1+2x2+x3=403x1+5x2+x4=30−2x1+x2+x5=−1x1,x2,x3,x4,x5≥0
\begin{cases}
5x_1 + 2x_2 + x_3 &=& 40 \\
3x_1 + 5x_2 + x_4 &=& 30\\
-2x_1 + x_2 + x_5 &=& -1 \\
x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 &\ge& 0
\end{cases}
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧5x1+2x2+x33x1+5x2+x4−2x1+x2+x5x1,x2,x3,x4,x5===≥4030−10
我们先尝试把x1,x2x_1,x_2x1,x2当作非基变量，写出可行解约束方程，
{x3=−5x1−2x2+40x4=−3x1−5x2+30x5=2x1−x2−1
\begin{cases}
x_3 &=& -5x_1 - 2x_2 + 40 \\
x_4 &=& -3x_1 - 5x_2 + 30\\
x_5 &=& 2x_1 - x_2 -1
\end{cases}
⎩⎪⎨⎪⎧x3x4x5===−5x1−2x2+40−3x1−5x2+302x1−x2−1
令x1=0,x2=0x_1=0,x_2=0x1=0,x2=0，我们看到x5=−1x_5=-1x5=−1，所以我们确定x5x_5x5出基。入基变量如何选择？
显然应该选择系数与常数项相反的，也就是x1x_1x1。这样，x2=0,x5=0x_2=0,x_5=0x2=0,x5=0时，x1=12≥0x_1=\frac12 \ge 0x1=21≥0。
于是问题变成，
max z=4x2+x5+5
max \ z = 4x_2 + x_5 + 5\\
max z=4x2+x5+5
s.t
{x1=12x2+12x5+12x3=−92x2−52x5+752x4=−132x2−32x5+572
\begin{cases}
x_1 &=& \frac12x_2+\frac12x_5+\frac12\\
x_3 &=& -\frac92x_2 - \frac52x_5 + \frac{75}2 \\
x_4 &=& -\frac{13}2x_2 - \frac32x_5 + \frac{57}2
\end{cases}
⎩⎪⎨⎪⎧x1x3x4===21x2+21x5+21−29x2−25x5+275−213x2−23x5+257
现在基可行解约束方程右边的常数项全部非负。令非基变量为零，可以得到初始基可行解。■\blacksquare■
小结
单纯形方法利用了可行域顶点就是非基变量为零的那些点，通过从第一个随机解，逐步进行入基／出基置换，得到第一个可行解，然后再继续入基／出基置换，得到最优解。
从几何解释上看，就是从任意一个顶点，先找到可行域的一个顶点，再不断沿着相邻顶点，最终走到最优点。
另外需要注意两个特殊情况：
- 如果目标函数中某个变量的系数大于零，但是无法找到与其置换的入基变量，该规划问题最优解是正无穷大。
- 如果目标函数中某个变量系数为零，则规划问题可能具有无数个解。
- 如果无可行解，则规划问题无解。
到这里单纯形方法的最核心内容就讲完了。通过本文获取的第一手经验，读懂专业教程应该没多大困难了。
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