HDU 5476 Explore Track of Point(几何)——2015 ACM/ICPC Asia Regional Shanghai Online

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本文探讨等腰三角形内部点P形成的轨迹Γ，并通过几何原理计算其长度。首先，定义了三角形的性质及点P的位置特性，接着推导出P点轨迹为中线AM及其延长线上的圆弧部分。进一步分析得到Q点的轨迹同样为圆弧，且Q点位于△ABC内心。最后，通过解析计算，得出长度公式并提供代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Explore Track of Point

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)

Problem Description

In Geometry, the problem of track is very interesting. Because in some cases, the track of point may be beautiful curve. For example, in polar Coordinate system,

ρ=cos3θ is like rose,

ρ=1−sinθ is a Cardioid, and so on. Today, there is a simple problem about it which you need to solve.

Give you a triangle

ΔABC and AB = AC. M is the midpoint of BC. Point P is in

ΔABCand makes min{∠MPB+∠APC,∠MPC+∠APB} maximum. The track of P is

Γ . Would you mind calculating the length of

Γ ?

Given the coordinate of A, B, C, please output the length of

Γ .

Input

There are T (

1≤T≤104 ) test cases. For each case, one line includes six integers the coordinate of A, B, C in order. It is guaranteed that AB = AC and three points are not collinear. All coordinates do not exceed

104 by absolute value.

Output

For each case, first please output "Case #k: ", k is the number of test case. See sample output for more detail. Then, please output the length of

Γ with exactly 4 digits after the decimal point.

Sample Input

  
   1
0 1 -1 0 1 0

Sample Output

  
   Case #1: 3.2214

Source

2015 ACM/ICPC Asia Regional Shanghai Online

/*********************************************************************/

给出等腰三角形ABC，AB=AC，M为BC中点。P点为三角形内使min{∠MPB+∠APC,∠MPC+∠APB} 最大的点。求P点轨迹。
则容易找到中线AM上的P点都满足使得∠MPB=∠MPC，∠APC=∠APB，则∠MPB+∠APC=∠MPC+∠APB=180°
故轨迹包含中线AM。
并且所有满足的P点都应满足：∠MPB+∠APC=∠MPC+∠APB=180°

任取中线上的一点P，可找到与之对应的一点Q，使得∠MQB=∠MPB，且∠AQC=∠APC，则∠MQB+∠AQC=180°成立，故Q点形成另一条子轨迹。
Q点的作法：
Q的作法
ΔBPM与ΔAPC的外接圆的交点。另一个交点即为P点。（由此可证明没有其他多余的轨迹）圆弧BM、AC分别对应圆上的∠MQB=∠MPB，且∠AQC=∠APC。

P与Q重合时，两者在ΔABC的内心上。
PQ重合
证明：P与Q重合，即ΔBPM与ΔAPC的外接圆相切。作切线PD，则：
∠DPM=∠APE=∠ACP（对顶角相等，弦切角相等）……[1]
又∠AMB=∠BPD=90°
则∠CPM=∠BPM=∠PDB（左右对称，余角相等）
则∠PCM=∠DPM（余角相等，对顶角相等）……[2]
由[1][2]得到∠ACP=∠PCM即PC是角平分线，又AP也为角平分线，故此时的P点为ΔABC的内心I。

猜测Q的轨迹是个圆弧
已证明 o(^▽^)o看code后面的段落
这一点是猜的，还没证明。但可以尝试证明∠BQC是个常量入手，得到Q的轨迹是个圆弧。
猜的依据是：轨迹关于AM左右对称，且经过ΔABC的内心时为最高点。

圆弧为ΔBCI的外接圆的一部分
前面已经证明了Q的轨迹过ΔABC的内心I。由对称得圆心在AM的延长线上，现在直接求该圆心的位置即可。

计算过程：
由三点坐标得到AB的距离为b，BC的距离为2a，AM即高为h,则内接圆的半径r=2ah/C=2ah/(2a+2b)=ah/(a+b)
ΔBCI的外接圆半径为R，且设M到圆心距离为x, a2+x2=(r+x)2 ，则 x=a2−r22r ，R=r+x
圆弧BIC张角为2β=2arcsin(a/R)
圆弧BIC长为2Rβ

附code:

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
struct node
{
    double x, y;
}A, B, C, M;
double dis(node a, node b)
{
    return sqrt(pow(a.x-b.x, 2)+pow(a.y-b.y, 2));
}
int main()
{
    int T, o = 0;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf", &A.x, &A.y, &B.x, &B.y, &C.x, &C.y);
        M.x = (B.x+C.x)/2, M.y = (B.y+C.y)/2;
        double a = dis(B, C)/2, b = dis(A, B), h = dis(A,M);
        double r = a*h/(a+b);
        double R = (a*a-r*r)/r/2+r;
        double ans = 2*R*asin(a/R);
        //printf("%f %f %f %f %f %f\n", a, b, h, r, R, ans);
        ans += h;
        printf("Case #%d: %.4f\n", ++o, ans);
    }
    return 0;
}

补充证明

重新描述一遍题

在圆O外一点作切线AB、AC,M为BC中点，连AM交圆O于P、F。在劣弧BC上取一点Q，连AG延长交圆O于D。
求证：P为ΔABC的内心，∠BQM+∠AQC=180°
证明：你可以先了解一点关于调和点列和调和线束的知识。
因为APMF为调和点列，所以CA、CP、CB、CF为调和线束。
CP垂直于CF，则CP平分∠ACB。
又AP平分∠BAC，则P为ΔABC的内心。