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数据结构-线段树

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本文介绍了一种使用线段树优化模运算问题的方法，解决了乘法和除法操作后对M取模的复杂性，通过单点更新和区间查询优化算法效率，实现了O(Q)的时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1008 即 HDU 5475 An easy problem
题意：给Q个操作和M。
操作有乘有除，输出每次操作后对M取模的结果。
思路：如果只有乘法，那问题就简单了，只要把所有数边乘边对M取模即可，那坑的是有除法呀。不能保存上一步的结果直接做除法。因为模过之后就把原来的数变小了。举个例子，比如有数据：
1
3 5
1 5
1 5
2 1
那每一步保存的是取模后的结果就错了。
对于第三个询问本应该输出25/5=5;但保存上一步的结果却会输出(25%10)/5=1。
正解是摒弃除法。都用乘法来做。
因为乘过一次和除过一次会刚好抵消。我们只要每次把没被除过的因子都乘起来再对M取模便是结果。
朴素的做法是
ans=1;
for(int i=1;i<=Q;i++)
for(int j=1;j<=i;j++)
if(第i个没被除过) ans*=这个因子。
复杂度是O(Q^2),其中Q=10^5。
显然会TLE 。
想法是对的，能再优化一下就好了。最好优化成O(Q)
但是作者没有想到O(Q)的算法。
作者想到了一个O(Q*log(Q))的方法，这个方法便是线段树。
事实上，通过朴素算法，我们第二重循环要做的事情就是统计出[1,i]这个区间所有没被除过的因子的乘积。
看到没有！区间呀！立马联想到线段树。
只是还是要动下脑筋，如何做到把[1,i]这个区间没被除过的因子删掉？
由于乘法的特性，我们立刻可以想到用单点更新那那个因子改成1就相当删掉了，update(i,1,[1,Q],root)。
如何插入一个新值呢？我们可以这样update(i,x,[1,Q],root);
好了现在清楚了吧？
下面是AC代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<sstream>
#include<fstream>
#include<vector>
#include<map>
#include<stack>
#include<list>
#include<set>
#include<queue>
#define LL long long
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1 | 1
using namespace std;
const int maxn=100005,inf=1<<29;
int dir[][2]={ {0,1},{-1,0},{0,-1},{1,0},{-1,1},{-1,-1},{1,-1},{1,1}};
int n,m,t;
LL sum[maxn<<2],M;
void PushUp(int rt)
{
    sum[rt]=sum[rt<<1]*sum[rt<<1|1]%M;
}
void build(int l,int r,int rt)
{
    if(l==r)
    {
        sum[rt]=1;
        return ;
    }
    int m=(l+r)>>1;
    build(lson);
    build(rson);
    PushUp(rt);
}
void update(int i,int add,int l,int r,int rt)
{
    if(l==r)
    {
        sum[rt]=add;
        return ;
    }
    int m=(l+r)>>1;
    if(i<=m) update(i,add,lson);
    else update(i,add,rson);
    PushUp(rt);
}
LL query(int L,int R,int l,int r,int rt)
{
    //printf("%d %d\n",l,r);
    if(L<=l&&r<=R)
    {
        return sum[rt];
    }
    int m=(l+r)>>1;
    LL res=1;
    if(L<=m) res=(res*query(L,R,lson))%M;
    if(R>m) res=(res*query(L,R,rson))%M;
    return res;
}
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    scanf("%d",&t);
    int Case=1;
    while(t--)
    {
        printf("Case #%d:\n",Case++);
        scanf("%d%I64d",&n,&M);
        build(1,n,1);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int op,x;
            scanf("%d%d",&op,&x);
            if(op==1)
            {
                update(i,x,1,n,1);
                printf("%I64d\n",query(1,i,1,n,1));
            }
            else
            {
                update(x,1,1,n,1);
                printf("%I64d\n",query(1,i,1,n,1));
            }
        }
    }
    return 0;
}