机器学习之线性代数基础二向量内积、平面表达式的几何意义

最新推荐文章于 2025-05-29 15:15:16 发布

qsdzxp

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分类专栏：机器学习

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本文介绍了向量内积的两种表示方法，特别是其几何意义——向量的二范数与投影的乘积。接着探讨了平面表达式的几何含义，通过法向量和直线上的点表示，分析了无偏置和平带有偏置的平面方程，强调了向量在法向量上的投影特性。

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1. 向量内积

向量内积除了我们常用的坐标表示的计算方法之外，还有另外一种不太常见用向量的二范数计算的方法。假设有向量 $u⃗,v\vec{u},v$ 之间的夹角为 $θ\theta$ ，那么 $u⃗Tv=∣∣u⃗∣∣∣∣v⃗∣∣cos(θ)\vec{u}^{T}v=||\vec{u}||||\vec{v}||cos(\theta)$ 继续变换一下，
$u⃗Tv=∣∣u⃗∣∣(∣∣v⃗∣∣cos(θ))=∣∣v⃗∣∣(∣∣u⃗∣∣cos(θ))\vec{u}^{T}v=||\vec{u}|| (||\vec{v}||cos(\theta))=||\vec{v}|| (||\vec{u}||cos(\theta))$ 其中 $∣∣v⃗∣∣cos(θ)||\vec{v}||cos(\theta)$ 的几何意义是向量 $v$ 在向量 $u⃗\vec{u}$ 上的投影，那么我们可以知道向量内积的几何意义就是：向量 $u⃗\vec{u}$ ( $v⃗\vec{v}$ )的二范数与向量 $v⃗\vec{v}$ ( $u⃗\vec{u}$ )在向量 $u⃗\vec{u}$ ( $v⃗\vec{v}$ )上的投影的乘积

2. 平面表达式

知道了向量内积的几何意义，平面表达式的几何意义就容易理解的多。我们用 $w⃗\vec{w}$ 表示平面的法向量， $x⃗\vec{x}$ 表示直线上的点所表示的向量（从原点出发）。
我们先看一个没有偏置的表面表达式如下 $w⃗Tx⃗=0\vec{w}^{T}\vec{x}=0$ 其中，此时， $x⃗\vec{x}$ 在法向量 $w⃗\vec{w}$ 的投影为零，显然 $x⃗\vec{x}$ 是垂直于法向量 $w⃗\vec{w}$ 的。此时直线是过原点垂直于法向量的。
有偏置的情况就是， $x⃗\vec{x}$ 并不垂直于 $w⃗\vec{w}$ ，但是** $x⃗\vec{x}$ 在 $w⃗\vec{w}$ 上的投影是恒定的**，即 $w⃗Tx⃗=−b\vec{w}^{T}\vec{x}=-b$ 此时直线不过原点，但必然是垂直于法向量的。