机器学习之线性代数基础二 向量内积、平面表达式的几何意义

本文介绍了向量内积的两种表示方法,特别是其几何意义——向量的二范数与投影的乘积。接着探讨了平面表达式的几何含义,通过法向量和直线上的点表示,分析了无偏置和平带有偏置的平面方程,强调了向量在法向量上的投影特性。

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1. 向量内积

  向量内积除了我们常用的坐标表示的计算方法之外,还有另外一种不太常见用向量的二范数计算的方法。假设有向量u⃗,v\vec{u},vu,v之间的夹角为θ\thetaθ,那么u⃗Tv=∣∣u⃗∣∣∣∣v⃗∣∣cos(θ)\vec{u}^{T}v=||\vec{u}||||\vec{v}||cos(\theta)uTv=uvcos(θ)继续变换一下,
u⃗Tv=∣∣u⃗∣∣(∣∣v⃗∣∣cos(θ))=∣∣v⃗∣∣(∣∣u⃗∣∣cos(θ))\vec{u}^{T}v=||\vec{u}|| (||\vec{v}||cos(\theta))=||\vec{v}|| (||\vec{u}||cos(\theta))uTv=u(vcos(θ))=v(ucos(θ))其中∣∣v⃗∣∣cos(θ)||\vec{v}||cos(\theta)vcos(θ)的几何意义是向量vvv在向量u⃗\vec{u}u上的投影,那么我们可以知道向量内积的几何意义就是:向量u⃗\vec{u}u(v⃗\vec{v}v)的二范数与向量v⃗\vec{v}v(u⃗\vec{u}u)在向量u⃗\vec{u}u(v⃗\vec{v}v)上的投影的乘积

2. 平面表达式

  知道了向量内积的几何意义,平面表达式的几何意义就容易理解的多。我们用w⃗\vec{w}w表示平面的法向量,x⃗\vec{x}x表示直线上的点所表示的向量(从原点出发)。
  我们先看一个没有偏置的表面表达式如下w⃗Tx⃗=0\vec{w}^{T}\vec{x}=0wTx=0其中,此时,x⃗\vec{x}x在法向量w⃗\vec{w}w的投影为零,显然x⃗\vec{x}x是垂直于法向量w⃗\vec{w}w的。此时直线是过原点垂直于法向量的
  有偏置的情况就是,x⃗\vec{x}x并不垂直于w⃗\vec{w}w,但是**x⃗\vec{x}xw⃗\vec{w}w上的投影是恒定的**,即w⃗Tx⃗=−b\vec{w}^{T}\vec{x}=-bwTx=b此时直线不过原点,但必然是垂直于法向量的

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