31、泊松 - 玻尔兹曼方程的求解与应用

泊松 - 玻尔兹曼方程的求解与应用

1. 泊松 - 玻尔兹曼方程的数值求解方法

由于生物分子几何形状和电荷分布的复杂性，泊松 - 玻尔兹曼方程（PBE）通常采用多种计算方法进行数值求解。这些方法一般通过一组有限维的基函数对PBE的连续精确解进行离散化。对于线性化的PBE，离散化后的方程将偏微分方程转化为线性矩阵 - 向量形式，可以直接求解。而完整PBE得到的非线性方程则需要更专业的技术，如牛顿法，来确定离散代数方程的解。

1.1 离散化方法

常见的离散化方法有有限差分法、边界元法和有限元法，具体如下：
- 有限差分法（FD） ：该方法在PBE求解器中处于前沿地位。它通常在非均匀笛卡尔网格上求解PBE，通过泰勒展开将PBE中的微分算子转化为稀疏差分矩阵，再用矩阵代数技术求解矩阵方程。FD网格问题设置相对简单，但对未知量在求解域中的放置控制能力有限。不过，有限差分法可以采用“静电聚焦”方法，在计算中提供一定程度的适应性。先在整个问题域上进行粗网格计算，其结果为感兴趣子域上的高分辨率计算提供边界条件，从而以较少的计算量得到PBE的高精度局部解。
- 边界元法（BE） ：该方法用三角形单形对分子表面进行离散化，通过诱导表面电荷表示解，再与库仑势（格林函数）卷积得到所需解。它能以较少的未知量对大分子几何形状进行详细描述，计算效率高，但仅适用于线性化的PBE，限制了其在生物分子静电学中的应用。
- 有限元法（FE） ：有限元网格由单形（如三角形或四面体）组成，覆盖PBE求解的整个体积。静电势由与网格顶点相关的分段多项式基函数构建，通常仅在相邻单形