数学建模整理-层次分析法

最新推荐文章于 2024-08-12 03:23:00 发布

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分类专栏：数学建模文章标签：算法

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层次分析法（AHP）是一种解决复杂决策问题的有效方法，尤其适用于难以定量分析的情况。该方法通过建立递阶层次结构，构造判断矩阵，计算权重并进行一致性检验来做出决策。主要步骤包括：建立层次结构模型、构造判断矩阵、层次单排序与一致性检验、层次总排序及一致性检验。在实际应用中，需通过计算一致性指标（CI）和随机一致性指标（RI）的比例（CR）来判断判断矩阵的一致性，若CR小于0.1，则认为结果可接受。

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基本原理

层次分析法（Analysis Hierarchy Process,简称 AHP），是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它适用于那些难于完全定量分析的问题。
它将人的思维过程分成目标层、准则层和方案层，并借助数学模型进行分析，是一种将决策者定性判断和定量计算有效结合起来的实用的决策分析方法。该方法系统性强，使用灵活、简便，适用于组织化的大规模复杂系统。尤其是当系统规模庞大、结构复杂、属性及目标多样，且系统中很多要素指标仅有定性关系时，采用层次分析法进行评价和决策是非常高效的。
基本原理是把复杂问题按支配关系分成递阶层次结构，每个层次都有相互联系相互作用的各个要素组成。通过逐对比较法对层次中各要素的相对重要性进行量化，最后进行相对重要性的总排序。

步骤

运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行：
（1）建立递阶层次结构模型；
（2）构造出各层次中的所有判断矩阵；
（3）层次单排序及一致性检验；
（4）层次总排序及一致性检验。

（1）建立递阶层次结构模型

应用 AHP 分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属
性及关系形成若干层次。这些层次可以分为三类：
（i）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结
果，因此也称为目标层。
（ii）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干
个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。
（iii）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，
因此也称为措施层或方案层。
在这里插入图片描述

（2）构造出各层次中的所有判断矩阵

层次结构反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。
在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
矩阵中允许不一致。

（3）计算权重

将矩阵A的各行向量进行几何平均（方根法），然后进行归一化，即得到各评价指标权重和特征向量W。 $W_i=\frac{\left(\prod_{j=1}^n a_{i j}\right)^{\frac{1}{n}}}{\sum_{i=1}^n\left(\prod_{j=1}^n a_{i j}\right)^{\frac{1}{n}}}$