数学建模--层次分析法

简介：

        层次分析法（Analytic Hierarchy Process, 简称AHP）是数学建模比赛中一种常用且基础的模型，主要用于解决评价类问题，如选择最佳方案、评估员工表现等。这种方法通过将复杂问题分解为多个层次的因素，并对这些因素进行定性和定量分析，从而提供科学的决策依据。

层次分析法的基本原理与步骤

1. 建立递阶层次结构模型

        层次分析法首先需要将实际问题分解成不同的组成因素，并按照这些因素之间的相互关联和隶属关系将其分为不同的层次，通常包括最高层（目标层）、中间层（准则层或指标层）和最低层（方案层或对象层）。例如，在高考志愿填报中，目标层可以是“选择最佳大学”，准则层可以是“学习氛围”、“就业前景”、“男女比例”和“校园景色”，方案层则是具体的大学选项。

2. 构造判断矩阵

        在确定了各层次因素后，需要对同一层次的各个因素进行两两比较，并根据评定标准确定其相对重要性。这一步通常采用成对比较的方式，即通过专家打分或经验判断来构建判断矩阵。例如，对于学习氛围和就业前景两个因素，可以通过专家打分来确定它们的相对重要性。

3. 层次单排序及一致性检验

        通过计算判断矩阵的特征向量并进行归一化处理，得到各因素的权重。然后进行一致性检验，以确保判断矩阵的一致性合理。如果一致性比率（CR）小于0.1，则认为该判断矩阵具有一致性。

4. 层次总排序及一致性检验

        将各层次的权重进行组合，最终得出各方案的总权重。同样需要进行一致性检验，以确保整体的一致性合理。

计算公式主要包括以下几种：

1. 特征向量法：这是计算准则权重的一种常用方法。具体公式为：
   
   其中，𝜆λ 为判断矩阵的特征值，𝑆S 为判断矩阵的列向量，𝑊𝑏Wb​ 为准则权重。

2. 几何平均法：这种方法通过计算各方案在各准则下的相对重要性来确定权重。具体公式为：