芯片测试：分治思想

1. 问题引入

• 一次测试过程
  
  假设：
• 好芯片的报告一定是正确的
• 坏芯片的报告是不确定的
  测试结果分析
  
• 每一种报道都可能A，B都是坏芯片
• 而只有第一种情况才有可能A，B都是好的

2. 如何在n个芯片里面判断A芯片是不是好芯片？

输入：
n片芯片，其中好芯片至少比坏芯片多一片
问题
设计一种测试方法,找出一片好芯片

2.1 例：假设 n = 7，好芯片数 >= 4.

那么除去A，还有 6 个芯片，我们要拿其余 6 个芯片分别与A芯片进行测试
注意：

• 是看其余 6 个芯片对A的测试结果，不是A对其余 6 个芯片的测试结果

结果：

• 6个报告中至少 3 个报A是好的，则A好
• 6个报告中至少 4 个报A是坏的，则A坏

结论：

• 当n为奇数，且好芯片数>=(n+1)/2.

1. A好，至少有(n-1)/2个报告为好
2. A坏，至少有(n+1)/2个报告为坏

2.2 例：假设 n = 8：好芯片数 >= 5.

同理得到结论：

• 当n为偶数：好芯片数 >= n/2 + 1.

1. A好，至少有n/2个报告为好
2. A坏，至少有n/(2+1)个报告为坏

3. 如何在n个芯片里面找到一个好芯片？

3.1 蛮力算法

测试一个芯片是不是好芯片参考目录2的方法

• 时间估计最长：

1. 第一片坏芯片，最多测试n-2次（当测试结果为 坏 好 坏 好…）
2. 第二片坏芯片，同上测试n-3次
3. …
   共：n-2 + n-3 + n-4 + … +2

• 总计： Θ(n²)

3.2 分治算法

3.2.1 n为偶数时分治过程

把 n 个芯片两两分为一组，那么一共可以分 n/2 个组
对于其中一组来说（参考目录1问题引入）

1. 若结果都报好，则要么这 2 片芯片都好，要么都坏，所以只挑其中一个芯片进行下一轮测试
2. 若是其他情况，则至少有一个芯片是坏的，就把两片芯片都丢掉
3. 那么经过一次分组测试下来，问题规模变为原来的一半

• 那么执行一次上述操作，芯片规模至少会减少一半

3.2.1.1 递归截止条件： n <= 3

• 3片芯片，1次测试可以得到好芯片
• 1或2片芯片，不需要再测试
  原因： 原问题描述为好芯片个数比坏芯片个数大，要用分治思想，那么分治之后子问题性质不变（下面证明）

3.2.1.2 分治算法正确性

证明：n为偶数时，经过一轮淘汰，剩下的好芯片比坏芯片至少多一片
设：A,B都好的芯片有 i 组，A与B一好一坏的芯片有j组，A与B都坏的有k组

• 初始： 总数为 n = 2i +2j +2k
• 且 2i + j > 2k +j （好芯片比坏芯片至少多一片）
  得到 i > k
  而经过一轮递归后

1. i组：保留i个好芯片
2. j组：全部淘汰
3. k组：最多保留k个坏芯片 （k组全报告正确的时候）
4. 此时下一轮中，保留了n = i 个好芯片 + 最多 k 个坏芯片

• 我们要证明：剩下的芯片中，好芯片个数比坏芯片个数大，即 i>k，得证

此时，n为偶数时已经证明完全正确，下面处理n为奇数的情况

3.2.2 n为奇数时处理

• 这里不符合好的芯片比坏的多
  所以
  
  单独测试： 同 目录2 如何在n个芯片里面判断A芯片是不是好芯片 一样
• 最多需要测试 O（n）次
  因此，整个过程为
  T(n) = T(n/2) + O(n)
  T(3) = 1
  T(2) = T(1) = 0
  得到T(n) = O(n)