分治-平面点集的凸包

1.问题

给定大量离散点的集合Q，求一个最小的凸多边形，使得Q中的点在该多边形内或者边上

2.应用背景

图形处理中用于形状识别：字形识别、碰撞检测等

3.分治算法

3.1 过程

3.1.1 第一步

1. 连接最上面的点和最下面的点，把整个图像划分为两个图像，然后求Deal(L_left)，求Deal(L_right)
   
2. Deal这个函数要怎么设计呢？对于一个图像，比如左边的
   
   找到与d最远的点P，连接最上面的点、最下面的点和P点构成一个三角形，（假设这两个边为 a，b） ，在三角形内部的点直接删掉
3. 再划分子问题
   
   以三角形两个边划分，再分为两个区域，即两个子问题
   • 比如说其中一个子问题（左下角的那个子问题），a就相当于上一步问题的d，于是可以接着用Deal这个函数

3.2 分治算法理解

• 这个算法是怎么把问题规模变小的呢？

1. 首先是算法的第一步，把整个原始问题转化为Left和Right，比如说原始问题有10个点，分割完之后左边有3个，右边有5个，还有2个点在分割线上，这样左边这个问题的规模就变成3，右边问题规模就变成5
2. 重要的是上面第二步中，在这一步划分三角形且判断点是否在三角形内部之后，在根据三角形的两条边得到的两个新的子问题，介绍算法时那个图中线段a，b形成的两个新的子问题，问题规模也会变小
3. 每一次画完三角形之后，都判断点有没有在三角形内部，如果在三角形内部，就删掉这个点，这样加上构成三角形的另外1个点，之后的子问题中就可以少考虑一些点

3.3 Deal的伪码

注意：这里的伪码只是Deal这个函数的伪码，不包括前面把整个图形分为两个子集Left和Right的伪码

3.4 算法分析

• 初始用d划分

  • O(n)
  • （一开始平面上共有n个点，每一个点都要比较一下是在d左边还是右边）

• 假设Deal递归调用的问题规模为n，设这个复杂度为 W(n)，

  • 找凸包顶点P为O(n)，且画三角形
    • 这里没考虑画三角形的时间复杂度，因为画三角形的时间复杂度为常数
  • 根据点的位置划分子问题复杂度为O(n)
    • 在这一步中要对左平面的点分析哪些点在三角形内部，哪些点不在内部

• 最差时间复杂度的情况为：每次划分三角形内部都没有点可以删除，且每次划分除了在分割线上的两个点，其他全部的点都只在一边，另一边没有点，这样虽然只会有一个子问题，但子问题的规模只减少了1

  • 此时 W(n) = W(n-1) + O(n)
  • W(3) = O(1)

• 此时W(n) = O(n²)

总的T(n) = O(n) + W(n) = O(n²)