信道编码-Hamming编码【附MATLAB完整代码】

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于 2024-12-06 18:49:21 首次发布

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信道编码-Hamming编码【附MATLAB完整代码】

1 概述
2 线性分组码
- 2.1 Hamming码
- 2.2 仿真示例

信道编码又称差错控制编码、可靠性编码、抗干扰编码或纠错码，它是提高数字信号传输可靠性的有效方法之一。它产生于20世纪50年代初，发展到20世纪70年代趋向成熟。

1 概述

数字信号在传输过程中，加性噪声、码间串扰等都可能引起误码。为了提高系统的抗干扰性能，可以加大发送功率，降低接收设备本身的噪声，以及合理选择调制、解调方法等。此外，还可以采用信道编码技术。信道编码是为了降低误码率，提高数字通信的可靠性而采取的编码，它按一定的规则人为引入冗余度。具体地讲，信道编码就是在发送端的信息码元序列中，以某种确定的编码规则，加入监督码元，在接收端再利用该规则进行检查识别，从而发现错误、纠正错误。
能发现错误的编码叫检错码；能纠正错误的编码叫纠错码。一般说来，纠错码一定能检错；反之，检错码不一定能纠错；或者说，同一个码，检错能力比纠错能力强。

1.1 差错控制方式

在数字通信系统中，利用纠错码或检错码进行差错控制的方式有三种：检错重发、前向纠错和混合纠错，它们的系统构成如图1所示，图中有斜线的方框图表示在该端检出错误。

1 检错控制方式
检错重发又称自动请求重传方式，记作ARQ（Automatic Repeat Request）。发送端发出能够发现（检测）错误的码，接收端收到通过信道传来的码后，在译码器根据该码的编码规则，判决收到的码序列中有无错误产生，如果发现错误，则通过反向信道把这一判决结果反馈给发端。

2 前向纠错方式
前向纠错方式记作FEC（Forword Eror Correction）。发送端发送能够被纠错的码，接收端收到这些码后，通过纠错译码器不仅能够自动地发现错误，而且能自动地纠正接收码字传输中的错误。这种方式的优点是不需要反馈信道，能进行一个用户对多个用户的同播通信，译码实时性较好。其缺点是译码设备比较复杂，所选用的纠错码必须与信道的干扰情况相匹配，因此，对信道的适应性较差。在移动通信系统中，几乎都采用前向纠错的差错控制方式。

3 混合纠错码
混合纠错方式记作HEC（Hybrid Eror Corection）是FEC和ARQ方式的结合，这种方式是发送端发送的码不仅能够被检测出错误，而且还具有一定的纠错能力。接收端收到码后，首先检查差错情况，如果在纠错码的纠错能力范围以内，则自动纠错，如果错误过多，超过了码的纠错能力，但能检测出来，则接收端通过反馈信道，要求发送端重新传送有错的消息。这种方式具有自动纠错和检错重发的优点，并可达到较低的误码率。因此，在实际中的应用越来越广。

1.2 纠错码的分类

按照不同的分类方法，纠错码可以分为线性码与非线性码、分组码与卷积码、检错码和纠错码等。本文重点介绍线性分组码中的Hamming码。

根据纠错码各码组信息和监督元的函数关系，可分为线性码和非线性码。如果函数关系是线性的，即满足一组线性方程式，则称为线性码，否则为非线性码。线性码集合中的所有码字在加法和乘法运算时是封闭的，而非线性码则不封闭。换言之，线性码实际上就是 $n$ 维线性空间的一个 $k (k < n)$ 维子空间。目前大量使用的均为线性码。

1.3 编码效率

采用差错控制编码提高了通信系统的可靠性，但是以降低有效性为代价换来的。通常定义编码效率 $R$ 来衡量有效性，即：
$\tag{1}$
式中， $k$ 为一个码组中信息元的个数， $n$ 为码长。
对纠错码的基本要求是：检错和纠错能力尽量强；编码效率尽量高；编码规律尽量简单。实际中要根据具体指标要求，保证有一定纠、检错能力和编码效率，并且易于实现。

2 线性分组码

在 $(n, k)$ 分组码中，若每一个监督元都是码组中某些信息元按模2和得到的，即监督元是信息元按线性关系相加而得到的，则称为线性分组码。或者说，可用线性方程组表述码规律性的分组码称为线性分组码。线性分组码是一类重要的纠错码，应用很广泛，其中Hamming 码、循环码、BCH 码和 RS 码都可以看作线性分组码的特例。

2.1 Hamming码

MATLAB提供了生成Hammming码的函数hammgen，以及用Hamming码进行编码，解码的encode和decode函数。

h=hammgen(m);

h=hammgen(m)产生一个 $\times n$ 的 Hamming 校验矩阵 h，其中， $n=2^{m}-1$ 。需要注意的是，产生的校验矩阵h=[I P]的形式，其中，I是 $\times n$ 的单位矩阵。

[h,g]=hammgen(m)

[h,g]=hammgen(m)产生一个 $m\times n$ 的 Hamming 校验矩阵h和与h相对应的生成矩阵。其中， $n=2^{m}-1$ 。h=[I P]，I是 $m\times m$ 的单位矩阵。而g=[P I]，其中，I是 $(n-m)\times(n-m)$ 单位矩阵，这与前面讨论的生成的矩阵形式不同。

code = encode(msg,n,k,'type/fmt’)或 code = encode(msg,n,k)

code =encode(msg,n,k,‘type/fmt’)可以进行一般的线性分组编码、循环编码和 Hammimng多码。所选用的编码方式由type指定。它的值可以是linear、cyclic或hamming，分别对应上面提到的3种编码方式，fmt参数取值可以是binary或decimal，分别用来说明输入待编码数是二进制还是十进制。当使用 code=encode(msg,n,k)时，默认的是使用 Hamming 编码。

msg = decode(code,n,k,'type/fmt')

msg = decode(code,n,k,'ype/fmt)用来对编码数据进行译码，其type/fmt 的取值与encod 函数的 type/fmt 的取值相对应。当使用 msg=decode(code,n,k)时，默认的是对 Hamming编进行译码。

2.2 仿真示例

例：仿真未编码和进行（7，4）Hamming编码的QPSK调制通过AWGN信道后的误比特率性能。

clear;clc;clf;
N=100000;               %信息比特行数
M=4;                    %QPSK调制
n=7;                    %Hamming编码码组长度
m=3;                    %Hamming码监督位长度
graycode=[0 1 3 2];

msg=randi([0 1],N,n-m);     %信息比特
msg1=reshape(msg.',log2(M),N*(n-m)/log2(M)).';
msg1_de=bi2de(msg1,'left-msb');     %信息比特转换为10进制形式
msg1=graycode(msg1_de+1);           %Gray编码
msg1=pskmod(msg1,M);                %QPSK调制
Eb1=norm(msg1).^2/(N*(n-m));        %计算比特能量
msg2=encode(msg,n,n-m);             %Hamming编码
msg2=reshape(msg2.',log2(M),N*n/log2(M)).';
msg2=bi2de(msg2,'left-msb');
msg2=graycode(msg2+1);              %Hamming编码后的比特序列转换为10进制形式
msg2=pskmod(msg2,M);                %Hamming编码数据进行QPSK调制
Eb2=norm(msg2).^2/(N*(n-m));        %计算比特能量
EbNo=0:2:10;                        %信噪比
EbNo_lin=10.^(EbNo/10);             %信噪比的线性值
for indx=1:length(EbNo_lin)
    indx;
    sigma1=sqrt(Eb1/(2*EbNo_lin(indx)));    %未编码的噪声标准差
    rx1=msg1+sigma1*(randn(1,length(msg1))+1i*randn(1,length(msg1)));    %加入高斯白噪声
    y1=pskdemod(rx1,M);                     %未编码QPSK解调
    y1_de=graycode(y1+1);                   %未编码的Gray逆映射
    [err, ber1(indx)]=biterr(msg1_de.',y1_de,log2(M));   %未编码的误比特率
    
    sigma2=sqrt(Eb2/(2*EbNo_lin(indx)));    %编码的噪声标准差
    rx2=msg2+sigma2*(randn(1,length(msg2))+1i*randn(1,length(msg2)));    %加入高斯白噪声   
    y2=pskdemod(rx2,M);                     %编码QPSK解调
    y2=graycode(y2+1);                      %编码Gray逆映射
    y2=de2bi(y2,'left-msb');                %转换为二进制形式
    y2=reshape(y2.',n,N).';
    y2=decode(y2,n,n-m);                    %译码
    [err, ber2(indx)]=biterr(msg,y2);        %编码的误比特率

end
semilogy(EbNo,ber1,'-ko',EbNo,ber2,'-k*');
legend('未编码','Hamming(7,4)编码');
title('未编码和Hamming(7,4)编码的QPSK在AWGN下的性能');
xlabel('Eb/No');ylabel('误比特率');

程序运行结果
从仿真结果可以看出，在信噪比较低时( $E_{b}/N_{0}$ <6dB)，不编码的误比特率要好于编码的误比特率，这是因为编码虽然可以带来编码增益，但在传输总能量不变的情况下，由于传每个编码码字中的比特能量减少，信噪比降低，由于信噪比降低而使误码率升高，而此时码增益很小，因此，编码结果反而不如不编码的结果。而在信噪比较高时，编码增益要大信噪比降低而导致的性能损失，因此，在( $E_{b}/N_{0}$ >6dB)时，编码结果要优于不编码的结果。