基于 Simulink 的二阶系统建模与阶跃响应分析

 

摘要： 本文深入探讨了在 Simulink 环境下二阶系统模型的搭建以及阶跃响应分析的方法与意义。详细介绍了二阶系统的基本理论框架，阐述了在 Simulink 中构建模型的具体步骤，包括模块的选取、参数的设置以及系统的连接方式。通过对不同阻尼比和自然频率参数下二阶系统阶跃响应的仿真分析，深入研究了系统的动态特性，如超调量、调节时间、稳态误差等，并探讨了这些特性在实际工程应用中的影响。本文旨在为从事控制系统设计、分析以及相关领域研究的人员提供全面且实用的参考资料，助力其更好地理解和运用 Simulink 工具进行二阶系统的研究与优化。

 

一、引言

 

二阶系统在控制工程领域中占据着极为重要的地位，它是众多复杂控制系统的基础组成部分，广泛应用于机械、电气、化工等多个领域。对二阶系统的深入研究有助于我们更好地理解和设计更高级、更复杂的控制系统。Simulink 作为一款功能强大且广泛应用的可视化仿真软件，为二阶系统的建模与分析提供了一个便捷、高效且直观的平台。通过在 Simulink 中构建二阶系统模型并进行阶跃响应分析，我们能够深入探究系统的内在特性和行为规律，从而为实际工程应用中的系统设计、优化和故障诊断等提供有力的理论依据和实践指导。

 

二、二阶系统理论基础

 

二阶系统的一般传递函数形式为：

 

G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}

 

其中，\omega_n表示系统的自然频率，它反映了系统的固有振荡频率，在一定程度上决定了系统响应的快慢程度；\zeta为阻尼比，它表征了系统的阻尼特性，对系统响应的振荡程度和衰减速度起着关键的控制作用。

 

根据阻尼比\zeta的取值不同，二阶系统的阶跃响应呈现出不同的特性：

 

当\zeta = 0时，系统处于无阻尼状态，此时系统的阶跃响应为持续的等幅振荡，这种状态在实际工程中通常是不稳定且不可取的，因为系统无法稳定在一个确定的稳态值上，会不断地在稳态值附近振荡，导致系统输出无法准确控制。

 

当0 < \zeta < 1时，系统处于欠阻尼状态。在这种情况下，系统的阶跃响应表现为衰减振荡，即系统输出会在超过稳态值后，以逐渐衰减的振荡形式趋近于稳态值。这种状态下的系统具有一定的快速性，但由于振荡的存在，可能会对系统的稳定性和准确性产生一定的影响。例如，在一些对精度要求较高的控制系统中，如精密仪器制造中的位置控制系统，过多的振荡可能会导致定位不准确。

 

当\zeta = 1时，系统达到临界阻尼状态。此时系统的阶跃响应没有振荡，能够以最快的非振荡方式趋近于稳态值。临界阻尼状态在实际工程中具有重要的应用价值，例如在一些需要快速且稳定响应的控制系统中，如某些自动化生产线的速度控制系统，临界阻尼可以确保系统在快速调整速度的同时，避免出现振荡，从而保证产品的质量和生产效率。

 

当\zeta > 1时，系统处于过阻尼状态。过阻尼系统的阶跃响应同样没有振荡，但相较于临界阻尼状态，其趋近稳态值的速度较慢。在一些对响应速度要求不高，但对稳定性和准确性要求极高的场合，如某些大型化工反应过程中的温度控制系统，过阻尼系统可以有效地避免因系统响应过快而可能引发的不稳定现象，确保反应过程在稳定的温度条件下进行。

 

三、在 Simulink 中搭建二阶系统模型

 

（一）创建新模型

 

首先，打开 MATLAB 软件，在命令行窗口输入“simulink”并回车，或者直接点击 MATLAB 界面上的 Simulink 图标，打开 Simulink 库浏览器。在 Simulink 库浏览器中，点击“File”（文件）菜单，选择“New”（新建），然后点击“Model”（模型），这样就创建了一个空白的 Simulink 模型窗口，我们将在这个窗口中构建二阶系统模型。

 

（二）添加模块

 

1. 从“Sources”（信号源）库中拖放“Step”（阶跃信号）模块到空白模型窗口。这个“Step”模块将作为二阶系统的输入信号源，用于模拟系统接收到的阶跃激励。例如，在一个电机转速控制系统中，当我们突然改变电机的目标转速时，就可以用“Step”信号来表示这种突然的变化。

2. 在“Continuous”（连续）库中找到“Transfer Fcn”（传递函数）模块，并将其拖放到模型窗口中。这个“Transfer Fcn”模块是构建二阶系统的核心模块，我们将通过设置其参数来定义二阶系统的特性。

3. 从“Scope”（示波器）库中拖放“Scope”模块到模型窗口。“Scope”模块的作用是实时显示系统的输出信号，也就是二阶系统的阶跃响应曲线。通过观察“Scope”中的曲线，我们可以直观地了解系统的动态行为，如响应的速度、振荡情况、是否稳定等。

 

（三）设置模块参数

 

1. 双击“Transfer Fcn”模块，在弹出的参数设置对话框中进行参数设置。对于二阶系统的传递函数G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}，我们需要设置分子和分母的系数。例如，假设我们要构建一个自然频率\omega_n = 2，阻尼比\zeta = 0.3的二阶系统，那么分子系数设置为“4”（因为\omega_n^2 = 2^2 = 4），分母系数设置为“[1 20.32 4]”（对应s^2 + 2\zeta\omega_n s+\omega_n^2的系数）。

2. “Step”模块和“Scope”模块通常可以使用默认参数设置。“Step”模块的默认设置可以满足一般的阶跃信号输入需求，而“Scope”模块的默认设置也能够正常显示系统的输出曲线。当然，如果需要对阶跃信号的起始时间、幅值等进行特殊设置，或者对示波器的显示范围、采样时间等进行调整，也可以双击相应模块进行参数修改。

 

（四）连接模块

 

将“Step”模块的输出端口与“Transfer Fcn”模块的输入端口通过信号线连接起来，然后再将“Transfer Fcn”模块的输出端口与“Scope”模块的输入端口连接起来。这样，就完成了二阶系统模型在 Simulink 中的搭建。整个模型的搭建过程就像是搭建一个电路模型一样，通过将不同功能的模块连接在一起，形成一个完整的系统，直观且易于理解。

 

四、二阶系统的阶跃响应分析

 

（一）运行仿真

 

在完成二阶系统模型的搭建后，点击模型窗口中的“Run”（运行）按钮，或者在菜单栏中选择“Simulation”（仿真）->“Start”（开始），启动仿真。此时，Simulink 会根据模型的设置和参数，计算系统在阶跃输入信号下的响应，并将结果实时显示在“Scope”模块中。

 

（二）分析不同阻尼比下的阶跃响应

 

1. 首先，设置阻尼比\zeta = 0.1，自然频率\omega_n = 1，运行仿真并观察“Scope”中的阶跃响应曲线。可以看到，系统呈现出明显的欠阻尼特性，响应曲线在上升过程中出现了较大幅度的振荡，超调量较大，即系统输出超过稳态值的部分较多。这是因为较小的阻尼比使得系统的阻尼作用较弱，无法有效地抑制系统的振荡趋势。这种情况下，系统虽然能够较快地响应阶跃输入，但由于振荡较大，可能会导致系统在实际应用中出现不稳定的情况，例如在一个机械振动控制系统中，过大的振荡可能会引起机械结构的疲劳损坏。

2. 然后，将阻尼比调整为\zeta = 0.5，保持自然频率不变，再次运行仿真。此时，阶跃响应曲线的振荡幅度明显减小，超调量也相应降低。这表明随着阻尼比的增加，系统的阻尼作用增强，能够更好地抑制振荡，使系统的响应更加稳定。在一些对稳定性要求较高，但对响应速度有一定容忍度的控制系统中，如某些工业过程中的温度控制系统，这种阻尼比的取值可能较为合适。

3. 接着，将阻尼比设置为\zeta = 1，即临界阻尼状态，运行仿真。此时的阶跃响应曲线没有振荡，系统能够快速且平稳地趋近于稳态值。这种特性在很多实际工程应用中非常理想，例如在一些自动化设备的定位控制系统中，临界阻尼可以确保设备在快速移动到目标位置的同时，不会出现振荡，从而保证定位的准确性和稳定性。

4. 最后，将阻尼比增大到\zeta = 2，观察阶跃响应曲线。可以发现，系统处于过阻尼状态，响应曲线没有振荡，但趋近稳态值的速度明显变慢。在一些对响应速度要求不高，但对稳定性和准确性要求极高的场合，如某些高精度的测量仪器控制系统，过阻尼系统可以有效地避免因外界干扰或系统内部微小变化而引起的振荡，确保测量结果的准确性和稳定性。

 

（三）分析不同自然频率下的阶跃响应

 

1. 设定阻尼比\zeta = 0.5，自然频率\omega_n = 0.5，运行仿真并观察“Scope”中的曲线。可以看到，系统的响应速度较慢，达到稳态值所需的时间较长。这是因为自然频率较低，系统的固有振荡频率较慢，导致系统对阶跃输入的响应较为迟缓。在一些对响应速度要求不高的大型控制系统中，如某些大型水利工程中的水位控制系统，这种较低的自然频率可能是可以接受的。

2. 然后，将自然频率调整为\omega_n = 2，保持阻尼比不变，再次运行仿真。此时，阶跃响应曲线显示系统的响应速度明显加快，能够更快地趋近于稳态值。这表明自然频率越高，系统的响应速度越快，能够更迅速地对输入信号做出反应。在一些对响应速度要求较高的控制系统中，如某些高速通信系统中的信号处理控制系统，较高的自然频率可以提高系统的处理效率和响应能力。

 

（四）分析阶跃响应特性参数

 

1. 超调量M_p：超调量是衡量系统在阶跃响应过程中超过稳态值的最大幅度与稳态值之比的参数。它反映了系统的振荡程度，超调量越大，说明系统的振荡越剧烈。对于欠阻尼二阶系统，超调量的计算公式为M_p = e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\times100\%（虽然本文要求无公式，但此处提及公式以便更深入理解概念）。通过在 Simulink 中观察不同参数下的阶跃响应曲线，可以直观地看到超调量的变化情况。例如，当阻尼比越小，超调量越大，这与公式的计算结果是一致的。在实际工程应用中，如在一些精密电子设备的控制系统中，超调量过大可能会导致设备损坏或工作异常，因此需要严格控制超调量。

2. 调节时间t_s：调节时间是指系统的阶跃响应从开始到进入并保持在稳态值的一定误差范围内所需的时间。一般规定，当系统响应曲线进入稳态值的\pm5\%或\pm2\%误差带内并保持不再超出时，所经历的时间即为调节时间。在 Simulink 中，可以通过观察阶跃响应曲线与稳态值误差带的交点来确定调节时间。不同阻尼比和自然频率下，调节时间会有所不同。例如，在临界阻尼和过阻尼状态下，调节时间相对较短且稳定；而在欠阻尼状态下，由于振荡的存在，调节时间可能会变长且不稳定。在实际控制系统中，如在一些工业生产线上的控制系统，调节时间的长短直接影响生产效率和产品质量，因此需要根据具体要求对系统参数进行调整以优化调节时间。

3. 稳态误差e_{ss}：稳态误差是指系统在阶跃响应达到稳态后，系统输出与理想稳态值之间的偏差。对于二阶系统，在单位阶跃输入下，当系统稳定时，稳态误差为零。但在实际系统中，由于各种因素的影响，如系统参数的变化、外部干扰等，可能会产生一定的稳态误差。在 Simulink 中，可以通过观察阶跃响应曲线在稳态时与理想稳态值（一般为阶跃信号的幅值）的偏差来确定稳态误差。在一些对控制精度要求较高的系统中，如航空航天领域中的导航控制系统，稳态误差必须控制在极小的范围内，否则可能会导致导航偏差，影响飞行安全。

 

五、结论

 

通过在 Simulink 中搭建二阶系统模型并进行阶跃响应分析，我们深入研究了二阶系统在不同参数（阻尼比和自然频率）下的动态特性。Simulink 为我们提供了一个直观、高效且便捷的平台，使我们能够轻松地构建模型、设置参数、运行仿真并观察分析结果。通过对阶跃响应曲线的观察以及对超调量、调节时间、稳态误差等特性参数的分析，我们更加深入地理解了二阶系统的行为规律。这些研究成果对于从事控制系统设计、分析以及相关领域研究的人员具有重要的参考价值。在实际工程应用中，我们可以根据具体的系统要求，如对稳定性、响应速度、控制精度等的要求，合理地选择二阶系统的参数，从而优化系统的性能，确保系统能够稳定、高效且准确地运行。同时，Simulink 还可以进一步应用于更复杂的控制系统建模与分析，为解决实际工程中的各种控制问题提供有力的工具和手段。