蓝桥--货物摆放(求约数问题)

文章描述了一个关于堆放正方体货物的问题,给定一个总数n,需要将其堆放成长方体形状,每箱货物的边必须平行于长、宽、高。问题转化为求n的所有约数组合,然后通过三层循环计算堆放方案。对于大数值n,使用约数的算术平方根优化算法来减少计算时间。

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题目描述

小蓝有一个超大的仓库,可以摆放很多货物。

现在,小蓝有 nn 箱货物要摆放在仓库,每箱货物都是规则的正方体。小蓝规定了长、宽、高三个互相垂直的方向,每箱货物的边都必须严格平行于长、宽、高。

小蓝希望所有的货物最终摆成一个大的长方体。即在长、宽、高的方向上分别堆 L、W、H 的货物,满足 n=L×W×H。

给定 nn,请问有多少种堆放货物的方案满足要求。

例如,当 n = 4时,有以下 6种方案:1×1×4、1×2×2、1×4×1、2×1×2、2×2×1、4×1×1。

请问,当 n = 2021041820210418(注意有 16 位数字)时,总共有多少种方案?

提示:建议使用计算机编程解决问题。

答案提交

这是一道结果填空的题,你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数,在提交答案时只填写这个整数,填写多余的内容将无法得分。

运行限制

  • 最大运行时间:1s
  • 最大运行内存: 256M

 

解题思路

1.根据n=L*H*W可以知道,L,H,W都是n的约数,所以这道题的本质是求n的所有约数,最后用三层循环直接求解就行了。因为本题是道填空题,所以超时什么的就无所谓了。

2.什么是约数?

约数又称因数。比如说a/b的余数为0,那么b就是a的约数(因数)。

3.局部优化

虽然最后依旧会超时,但我们可以在求约数的地方优化一下,减少一下代码的运行时间。

 

比如:求25的所有约数,基础的方法就是从1遍历到25,如果余数为0那么这个数就是约数,但如果像题目的数那么大的话,求个约数都要运行半天。

 

所以可以把遍历的范围限制到数据的算数平方根,这样的话求约数的时间就大大减少了。在这里要注意的是,除数是约数,商也是约数,有些情况是除数会等于商的(比如25/5除数为5,商也为5),所以用集合来存储约数。

Code:

'''
n=2021041820210418
a=set() #用集合来储存约数,因为集合会自动去重
for i in range(1,int(pow(n,0.5))+1): #这里从1遍历到数据的算数平方根,节省点时间
  if n%i==0:
    a.add(i) #除数是约数
    a.add(n//i)  #商也是约数
num=0
for i in a:
  for j in a:
    for k in a:
      if i*j*k==n:
        num+=1
print(num)
'''
print(2430)

 

 

<think>好的,我需要帮用户解决蓝桥杯竞赛中关于阶乘约数问题。用户提到了他们想了解解题思路或示例代码,所以我得先回忆相关的知识点。根据提供的引用,特别是引用[3]和[4],用户的问题可能涉及到如何计算阶乘的约数个数。 首先,阶乘的约数问题通常指的是n!的正约数的个数。根据唯一分解定理和约数定理,这需要将n!分解质因数,然后根据每个质因数的指数加1相乘得到结果。例如,100!的约数个数就是各个质因数在100!中的指数加1后的乘积。 接下来,我需要整理解题步骤。首先,分解质因数的过程是关键。对于每个数从2到n,分解成质因数,然后累加每个质因数的次数。例如,在引用[3]的代码中,遍历2到100的每个数,分解它们的质因数,并记录每个质数的总次数。这可以通过循环每个数,然后对每个数进行质因数分解,同时更新一个数组或字典来记录每个质数的出现次数。 然后,应用约数定理,即每个质数的指数加1相乘得到约数的个数。例如,如果质数2的指数是a,那么约数个数中的这一部分贡献是(a+1)。将所有质数的贡献相乘就是最终结果。 用户可能需要具体的代码示例。引用[3]中的C++代码可以作为一个参考,但用户可能需要Python版本。因此,我需要将思路转换为Python代码。需要注意的是,分解每个数的质因数时,要确保正确统计每个质数的次数。例如,对于i从2到n,每个i分解为质因数,如2=2^1,4=2^2等,然后将这些次数累加到总的质因数统计中。 此外,需要注意效率问题。因为n可能很(比如100),分解每个数的质因数需要尽可能高效。但考虑到n的范围在蓝桥杯题目中可能不会过,直接暴力分解是可以接受的。 最后,结合引用[4]提到的唯一分解定理和约数定理,确保用户理解背后的数学原理,而不仅仅是代码实现。这样用户在遇到变种题目时,能够灵活应用这些定理。 现在,我需要将这些思路整理成步骤清晰的解释,并提供一个Python的示例代码。同时,根据用户的需生成相关问题,可能涉及不同的阶乘约数问题变种,或者优化方法等。</think>### 蓝桥杯阶乘约数问题解析 #### 核心思路 计算阶乘的约数个数需结合**唯一分解定理**和**约数定理**: 1. **唯一分解定理**:将$n!$分解为质因数乘积形式: $$n! = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot ... \cdot p_k^{e_k}$$ (其中$p_i$为质数,$e_i$为对应质数的指数) 2. **约数定理**:约数个数为各质数指数加1的乘积: $$d(n!) = (e_1+1)(e_2+1)...(e_k+1)$$ #### 实现步骤 1. **统计质因数**:遍历$2$到$n$的所有数,对每个数分解质因数,累加质因数的指数 2. **计算乘积**:将所有质因数的指数$+1$后相乘得到结果 #### Python示例代码 ```python def factorial_divisors(n): prime_counts = {} # 存储质因数的指数 # 遍历2到n的每个数 for i in range(2, n+1): temp = i # 分解质因数 for p in range(2, int(temp**0.5)+1): while temp % p == 0: prime_counts[p] = prime_counts.get(p, 0) + 1 temp //= p # 处理剩余的质数 if temp > 1: prime_counts[temp] = prime_counts.get(temp, 0) + 1 # 计算约数个数 result = 1 for count in prime_counts.values(): result *= (count + 1) return result print(factorial_divisors(100)) # 输出:39001250856960000 ``` #### 关键点说明 - **复杂度优化**:通过预处理质数可提升效率,但题目中$n≤100$时直接分解即可[^3] - **边界处理**:注意剩余的质数(如7、13等不可再分解的质数) - **数学原理**:本质是利用算术基本定理将阶乘转换为质因数分解形式[^4]
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