算法笔记七之TSP问题（动态规划）【应试版】

提示：本文章不含代码，纯应试解题~（中国地质大学（武汉）研究生算法考试题目）

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前言

旅行商问题（Traveling Salesman Problem，简称TSP）是一个经典的组合优化问题。这个问题可以描述为：一个旅行商需要从某个城市出发，经过所有其他城市恰好一次后，最终返回到出发城市，目标是找到总行程最短的路径。

其实，旅行商问题就像是在玩一个复杂的迷宫游戏，目标是找到一条最短的路线，但是这个迷宫有很多层，每一层都有不同的路线选择，找到最短的那条路需要很多计算和一些聪明的策略。

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提示：以下是本篇文章正文内容

一、问题描述

对于TSP问题，我们一般会有一个有向图，有向图的每一个结点可以看成是一个个的城市，比如下图就有0,1,2,3四个城市，权值代表代价。

为了便于计算，我们需要把上述有向图转化成矩阵描述形式，有：

$$\left[\begin{array}{cccc}0& 3& 6& 7\\ 5& 0& 2& 3\\ 6& 4& 0& 2\\ 3& 7& 5& 0\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3)}$$
TSP问题的动态规划方程为：

二、求解TSP问题

首先从城市0出发经过城市1,2,3，然后回到城市0的最短路径长度为：
d ( 0 , { 1 , 2 , 3 } ) = m i n { c 01 + d ( 1 , { 2 , 3 } ) , c 02 + d ( 2 , { 1 , 3 } ) , c 03 + d ( 3 , { 1 , 2 } ) } d(0,\{1,2,3\})=min\{c_{01}+d(1,\{2,3\}),c_{02}+d(2,\{1,3\}),c_{03}+d(3,\{1,2\})\} d(0,{ 1,2,3})=min{ c01​+d(1,{ 2,3}),c02​+d(2,{ 1,3}),c03​+d(3,{ 1,2})}

但是，上式中 d ( 1 , { 2 , 3 } ) 、 d ( 2 , { 1 , 3 } ) 、 d ( 3 , { 1 , 2 } ) d(1,\{2,3\})、d(2,\{1,3\})、d(3,\{1,2\}) d(1,{ 2,3})、d(2,{ 1,3})、d(3,{ 1,2})都是未知的，所以要一层一层剥开~

我们一个一个进行求解：
d ( 1 , { 2 , 3 } ) = m i n { c 12 + d ( 2 , { 3 } ) , c 13 + d ( 3 , { 2 } ) } d(1,\{2,3\})=min\{c_{12}+d(2,\{3\}),c_{13}+d(3,\{2\})\} d(1,{ 2,3})=min{ c12​+d(2,{ 3}),c13​