算法笔记五之最优二分检索树问题（动态规划）【应试版】

提示：本文章不含代码，纯应试解题~（中国地质大学（武汉）研究生算法考试题目）

---

前言

最优二分检索树（Optimal Binary Search Tree, OBST）问题是一个经典的动态规划问题，它涉及到在给定一组有序关键字及其搜索概率的情况下，构建一棵二叉搜索树，使得查找这些关键字的平均代价最小。

说人话就是——想象一下，你有一个装满不同书籍的书架，每本书都有人可能会来查找。每个人来找书的时候，他们可能对某几本书更感兴趣，所以这些书被查找的频率会更高。现在，你想要重新排列这些书，使得人们找书的平均时间最短。
最优二分检索树就像是这样一个书架的最优排列方式。在这个排列中，每本书（或者说每个关键字）都放在一个位置上，这样当人们来找书时，他们平均需要翻阅的书的数量最少。这就像是在计算机中搜索数据，我们希望找到一种方式，使得搜索数据的平均步骤数最少。

---

提示：以下是本篇文章正文内容

一、问题描述

1.题目

$$\begin{gathered} 设n=4,(a_1,a_2,a_3,a_4)=(do,if,read,while), \\ P(1:4)=(3,3,1,1),Q(0,4)=(2,3,1,1,1) \end{gathered}$$

2.递推公式介绍

公式一：
$$\begin{array}{rl}W(i,j)& =Q(i)+\sum _{i<r<=j}[P(r)+Q(r)]\\ & =W(i,j-1)+P(j)+Q(j)\end{array}$$
W(i,j)表示i~j范围内的搜索成本。

举个栗子~
如下图所示：对应的$W$就是$W=(0,1)$,且
$$W(0,1)=W(0,0)+P(1)+Q(1)$$

公式二：
设最优二叉检索树的成本为$C(0,n)$，有
C ( 0 , n ) = m i n 1 < = k < = j { C ( 0 , k − 1 ) + C ( k , n ) + 1 } C(0,n)=min_{1<=k<=j}\{C(0,k-1)+C(k,n)+1\} C(0,n)=min1<=k<=j​{ C(0,k−1)+C(k,n)+1}
对于任意$i$到$j$的节点，其最优二叉搜索树的成本为:
C ( i , j ) = m i n i < k < = j { C ( i , k − 1 ) + C ( k , j ) } + W ( i , j ) C(i,j)=min_{i<k<=j}\{C(i,k-1)+C(k,j)\}+W(i,j) C(i,j)=mini<k<=j​{ C(i,k−1)+C(k,j)}+W(i,j)
小声哔哔：懒得推（hiahia~）

二、解题步骤

1.W的计算

$$\begin{array}{rl}W(i,j)& =W(i,j-1)+P(j)+Q(j)\end{array}$$

step 0
首先是初始化过程，即初始化所有未成功检索的节点
$$W(0,0)=Q(0)=2$$ $$W(1,1)=Q(1)=3$$$$W(2,2)=Q(2)=1$$ W ( 3 , 3 ) = Q ( 3 )