递推与递归3 奇怪的汉诺塔问题

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#c++ #算法 #动态规划

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本文探讨了从经典的三塔问题扩展到四塔问题的解决方案。通过引入额外的塔，我们不再需要一次性移动所有盘子，而是采用分治策略，将问题分解为更小的三塔问题。利用递归算法，逐步将盘子移动到目标塔。代码示例展示了如何计算最少操作步数，并输出了不同盘数下的最小步骤。

在这里插入图片描述
熟悉的三塔问题我们知道如何解决，但是现在变成了四个塔，又该如何解决呢。首先我们可以确定的是增加塔的数量肯定会使操作步数减少。
我们先复习一下三塔如何做：

将上方的n-1个盘移到中间塔
将第n个盘移到目标塔
将n-1个盘移到目标塔

考虑四塔：增加了一个塔之后，我们不必一次将上方的n-1个盘全部移动到中间塔，我们可以先将上方的i个盘在四塔的前提下移到一个中间塔，剩下三个塔，问题就变为了将剩下的塔在三塔的前提下移到目标塔，最后将之前的i个塔在四塔的前提下移到目标塔。
问题就解决了：
在求f(n)时，我们枚举先移动的i个盘，每次更新答案即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int d[15],f[15];
int main(){
    for(int i=1;i<=12;i++){
        d[i]=2*d[i-1]+1;
    }
    memset(f,0x3f,sizeof f);
    f[0]=0;
    for(int n=1;n<=12;n++){
        for(int i=0;i<n;i++){
            f[n]=min(f[n],f[i]*2+d[n-i]);
        }
        cout<<f[n]<<endl;
    }
    return 0;
}