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题目原题链接问题描述给定函数H(x)=φ(x)xH(x)=\frac{φ(x)}{x}H(x)=xφ(x)​ 【φ(x)φ(x)φ(x) 欧拉函数】再给定一个正整数n(1≤n≤109)n(1\leq n \leq 10^9)n(1≤n≤109)，定义域为[2,n][2,n][2,n]中的整数1、回答一个 x0∈[2,n]x_{0}\in [2,n]x0​∈[2,n]，使得 H(x0)H(x_{0})H(x0​)取到H(x)H(x)H(x)在 [2,n][2,n][2,n]的最小值。若存在多个这

文章目录一、定义1.内容及解释2.应用场景二、性质1.积性函数·gcd(a,b)=1,μ(ab)=μ(a)μ(b)gcd(a,b)=1,\mu{(ab)=\mu(a)\mu(b)}gcd(a,b)=1,μ(ab)=μ(a)μ(b)简单证明2.∑d∣nμ(d)={1n=10n>1\sum_{d|n}\mu(d)=\begin{cases}1 & n=1 \\0 & n>1 \\\end{cases}∑d∣n​μ(d)={10​n=1n>1​简单证明三、筛法1.求单个函数值2.

文章目录一、定义内容二、性质1.当gcd(a,n)=gcd(b,n)=1gcd(a,n)=gcd(b,n)=1gcd(a,n)=gcd(b,n)=1时，a≡b(moda≡b (moda≡b(mod n)⇐⇒I(a)≡I(b)(modn)\Leftarrow \Rightarrow I(a)≡I(b)(modn)⇐⇒I(a)≡I(b)(mod φ(n))φ(n))φ(n))2.当gcd(a,n)=gcd(b,n)=1gcd(a,n)=gcd(b,n)=1gcd(a,n)=gcd(b,n)=1时，I(a)≡I.

文章目录一、阶（order）1.定义2.基本定理定理一内容:gcd(a,n)==1gcd(a,n)==1gcd(a,n)==1, am≡1(moda^m ≡1(modam≡1(mod n)n)n)的充要条件为 (ordna)∣m(ord_na)| m(ordn​a)∣m证明定理二内容：gcd(a,n)==1gcd(a,n)==1gcd(a,n)==1,ordna∣φ(n)ord_na|φ(n)ordn​a∣φ(n)证明定理三内容:gcd(a,n)==1gcd(a,n)==1gcd(a,n)==1,ax≡a.

文章目录一、介绍1.定义2.定理二、判别1.勒让德符号（Legendre Symbol）2.欧拉判别准则（Euler's criterion）(1)内容(2)证明(3)注意三、x2≡n(modx^2≡n(modx2≡n(mod p)p)p)——奇波拉算法（Cipolla's algorithm）1.操作2.证明x=(a+a2−n)p+12x=(a+\sqrt{a^2-n})^{\frac{p+1}{2}}x=(a+a2−n​)2p+1​为解四、模板题代码五、x2≡n(modx^2≡n(modx2≡n(mo.

文章目录一、朴素BSGS1.适用情况2.具体实现二、例题·Discrete Logging三、拓展BSGS1.区别2.具体实现四、例题·Clever Y一、朴素BSGS1.适用情况常用来解决形如bx≡n(modb^x≡n(modbx≡n(mod p)p)p)的问题，且p为质数，b与p互质。首先根据费马小定理，此时存在式子：bp−1≡1(modb^{p-1}≡1(modbp−1≡1(mod p)p)p)而x可以表示为k∗(p−1)+tk*(p-1)+tk∗(p−1)+t的形式，说明了此时存在一个.

文章目录一、引例·《孙子算经》“物不知数”问题1.内容2.解决方法二、中国剩余定理1.内容2.证明三、例题Biorhythms四、拓展中国剩余定理（不满足互质条件）1.背景2.解决方法五、例题X问题一、引例·《孙子算经》“物不知数”问题1.内容有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。即存在x≡2(mod3),x≡3(mod5),x≡2(mod7)x≡2 (mod 3), x≡3 (mod 5), x≡2 (mo.

文章目录一、介绍1.内容2.作用二、例题1.Sum2.上帝与集合的正确用法3.Brute-force Algorithm一、介绍1.内容ab%m={ab%φ(m)%mgcd(a,m)=1ab%mgcd(a,m)!=1且φ(m)≥bab%φ(m)+φ(m)%mgcd(a,m)!=1且φ(m)<ba^b\%m=\begin{cases} a^{b\%{φ(m)}} \%m& gcd(a,m)=1 \\a^b\%m& gcd(a,m)!=1且φ(m)\geq b \\a^{.

文章目录一、欧拉定理1.内容2.证明1.证明ZnZ_nZn​与SSS的等价性1.(axi)(ax_i)(axi​)%n一定在ZnZ_nZn​中存在2.证明(axi)(ax_i)(axi​)%n与(axj)(ax_j)(axj​)%n不会相等2.证明aφ(n)x1x2...xφ(n)≡x1x2...xφ(n)(modn)a ^{φ(n)} x_1x_2 ...x _{φ(n)} ≡ x_1 x _2 ... x_{ φ(n)} (mod n)aφ(n)x1​x2​...xφ(n)​≡x1​x2​...xφ(.

文章目录前言1.定义2.与模n的简化剩余系的区别一、p为质数的情况1.φ(p )=p-1证明2.φ(pkp^kpk)=pkp^kpk-pk−1p^{k-1}pk−1证明二、φ(ababab)的讨论1.a与b互质时，φ(ababab)=φ(aaa)φ(bbb)满足积性函数1.a,b均为质数时的证明2.a,b互质时的证明3.例题·Euler Function4.推论：a为奇数时，φ(2a) = φ(2)*φ(a)=φ(a)。2.正整数a,b,若d=gcd(a,b),则φ(ababab) = φ(a)φ(b)d.

文章目录一、定义·乘法逆元·取模1.分析2.代码二、递推·杨辉三角·取模1.分析2.代码三、公式·卢卡斯定理·取模1.分析2.代码四、定义·高精度·不取模1.分析2.代码一、定义·乘法逆元·取模1.分析计算CnmC^m_nCnm​对p取模的结果，根据定义我们的计算公式为n!m!(n−m)!\frac{n!}{{m!}{(}{n-m}{}{)}{!}}m!(n−m)!n!​,此时我们还需要对结果取模，我们对除法无法直接进行取模操作，所以我们此时需要对分子使用乘法逆元。乘法逆元简要说来，求逆元的.

文章目录一、思路·高斯消元解线性方程组二、代码实现三、例题·高斯消元解异或线性方程组一、思路·高斯消元解线性方程组1.枚举每一列，于当前列中找到绝对值最大的一项；2.将该项所处的行与当前首行进行交换；3.将此时第一行的第一个非零元素化为1，对其余元素进行相同处理；4.使用倍加处理，用当前行把下列所有元素消为0；5.重复1操作，此时当前行已被确定，枚举下一列，以当前行的下一行视为首行。若遇到一列中所有元素都为0的情况，我们直接处理下一列，并且不改变首行，经过上述处理，最后一定可以得出系数全.

文章目录一、定义二、作用及证明作用.计算除法的模 (a/b) mod n证明：三、求解方法1.扩展欧几里得算法2.欧拉定理与费马小定理（快速幂求法）3.线性递推（逆元打表）四、性质（映射关系）1.性质2.证明五、例题·瞬间移动1.分析2.代码一、定义若整数a、b满足同余方程a∗b≡1(mod n) ，那么a，b互为模n意义下的逆元逆元存在的充要条件为gcd（a，b）为1.二、作用及证明作用.计算除法的模 (a/b) mod n除法不可以使用之前分部的策略，否则结果将会产生问题。证明：.

文章目录前言一、推导1.反递推起点2.反递推二、代码实现前言贝祖定理：若a,b是整数,且gcd(a,b)=d，那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数x,y，使ax+by=d成立。但如何求出满足条件的x、y就是我们接下来的任务。需要注意的是这个方程是丢番图方程。丢番图方程（Diophantine Equation）：有一个或者几个变量的整系数方程，它们的求解仅仅在整数范围内进行。最后这个限制使得丢番图方程求解与实数范围方程求解有根本的不同。丢番图方程又名不.

文章目录一、贝祖定理的两种写法写法一写法二联系二、贝祖定理的一种证明1.准备工作2.证明S为a，b的公约数三.贝祖定理扩展1.内容：2.两个引理一、贝祖定理的两种写法写法一若a,b是整数,且gcd(a,b)=d，那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数x,y，使ax+by=d成立。写法二两个整数 a、b 是互质的，等价于方程 ax+by=1有整数解。联系已知：gcd(A,B)=d;所以：A = a * d;B = b * d;a、b不存在相.

文章目录一、GCD1.定义2.欧几里得算法（辗转相除法）3.辗转相除法简单证明2.大数计算GCD优化二、LCM1.定义2.LCM与GCD联系三、LCM Walk1.分析2.代码一、GCD1.定义最大公因数（Greatest Common Divisor, GCD），指两个或多个整数共有约数中最大的一个。2.欧几里得算法（辗转相除法）运算中有取模操作，不管是用递归写法，还是循环写法，对执行次数影响不大，所以整体可以控制在一个接近常数时间内完成。int gcd(int a,int b){.

文章目录一、模运算1.通用定义2.关于包含负数的模运算二、同余关系1.定义2.同余类（剩余类）3.完全剩余系 、简化剩余系（既约剩余系/缩系）4.带模运算性质5.同余式性质6.余数之和一、模运算1.通用定义如果a 与d 是整数，d 非零，那么r 满足这样的关系：a = q*d + r , q 为整数，且0 ≤ |r| < |d|。其中，q 被称为商，r 被称为余数。2.关于包含负数的模运算从定义的角度来看，我们此时需要解决3种情况：1.a、d均为负数2.仅a为负数3.仅b.

文章目录一、约数1.定义2.唯一分解定理3.求约数个数及约数和二、反素数1.定义理解2.性质3.寻找约数个数为n的反素数4.代码5.在n范围内最大的反素数6.代码一、约数1.定义约数，又称因数。整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。a称为b的倍数，b称为a的约数。2.唯一分解定理任意大于1的自然数都可以分解为有限个素数之积即A^a * B^b * C^c… * Z^z的形式3.求约数个数及约数和求约数个数对于任意一个约数来说

关于质数筛法的讨论文章目录关于质数筛法的讨论前言一、暴力循环1.优点2.关键代码3.缺点二、埃氏筛1.改进2.关键代码3.缺点三.欧拉筛法1.改进2.关键代码总结前言从暴力的直接循环开始，一步步对算法进行优化，一步步简化时间复杂度，并尽可能讨论各种筛法的优劣，以及其中每一步的意义。一、暴力循环1.优点思路直接，容易被像我们这样的新手第一时间想到，一个质数，除了1和它本身以外不再有其他因数，那么想知道一个数是不是质数，干脆直接去看看它有几个因子2.关键代码仅仅提供思路，理解后能灵活运