3D数学-裁剪空间与透视投影矩阵的推导

3D数学-裁剪空间与透视投影矩阵的推导

透视投影矩阵的变换本质，是将视锥体变换到裁剪空间中

视锥体的具有六个面，近裁剪面，远裁剪面，左裁剪面，右裁剪面，上裁剪面，下裁剪面

所有超出视锥体的都会被舍弃，也就是被裁剪，我们之后的操作都是对视锥体内部进行计算

接下来我们来分析并解析，如何推导透视投影矩阵

注意：这里我们对于坐标的矢量使用的是行矢量，如果你使用的是列矢量，那么透视投影矩阵要进行转置

在之前的章节中，我们已经知道了：

将点p投影到z=d的平面上，通过相似三角形的比例关系，可以获得p'

p[x,y,z] --> p'[dx/z,dy/z,d]

我们使用齐次坐标理论去改变它

p'=[dx/z,dy/z,d]=[dx/z,dy/z,dz/z]=[x,y,z]/(z/d)

我们将这个分母放入w，那么四维齐次坐标将会是：[x,y,z,z/d]，之后我们要将齐次坐标转化为三维坐标只需要将各个分量除以w即可。

实际上，d值表示焦距，即从投影平面到投影中心的距离，它的值并不重要，我们将其选择为最方便的值：1

投影在平面上的z值我们并不关心，之所以选择使用d=1，主要是原z值对于后续的计算仍然有作用，因此我们要保存它

这样以来，齐次坐标就变为了：[x,y,z,z]

此时，透视投影矩阵是这样的：

[1 0 0 0]
[0 1 0 0]
[0 0 1 1]
[0 0 0 0]

现在，我们考虑裁剪空间的坐标[-1,1]，之前我们的计算仅仅考虑到了将点投影在平面上，但是这仍然不够。

因为，实际上，我们希望将视锥体内的坐标，转化为裁剪空间下的坐标，而裁剪空间是什么坐标？

裁剪空间下的坐标，x[-1,1] y[-1,1] z[-1,1]，因此，上述的透视投影矩阵还不够全面，不仅如此，我们还需要考虑到x，y的缩放，以及将z的值映射到[-1,1]的范围内。

现在，我们用一些字母参数重新描述透视投影矩阵

[zoomx 0 	 0 0]
[0 	   zoomy 0 0]
[0     0     a 1]
[0     0     b 0]

现在我们来解释一下这些字母参数

zoomx与zoomy分别表示x轴与y轴的缩放（根据相机的缩放控制），这很容易理解

a和b，用于将z值映射到[-1,1]

我们首先计算通过该矩阵变换后的齐次坐标

[x,y,z,1][zoomx 0 	  0 0] = [zoomx*x,zoomy*y,az+b,z]
		 [0 	zoomy 0 0]
		 [0     0     a 1]
		 [0     0     b 0]

变换后的齐次坐标为：[zoomx*x,zoomy*y,az+b,z]

将齐次坐标转化为普通坐标：[zoom*x/z,zoomy*y/z,(az+b)/z,1]

之前我们说明了，我们要将视锥体中的点转换到裁剪空间中。现在先处理z值，将其映射到[-1,1]

我们定义从原点到近裁剪平面的距离为n，从原点到远裁剪平面的距离为f。

我们可以列出方程：

(az+b)/z = -1 , z = n
(az+b)/z =  1 , z = f

我们可以求出a和b的值

a = (n+f)/(f-n);
b = -2nf/(f-n);

现在我们已经求出第一版的透视投影矩阵了，即

[zoomx 0 	 0           0]
[0 	   zoomy 0           0]
[0     0     (n+f)/(f-n) 1]
[0     0     -2nf/(f-n)  0]

我们还没有将x和y映射到[-1,1]的范围内

这里我们首先介绍一种数学方法

简单的线性插值

这是在图形学中普遍使用的基本技巧，我们在很多地方都会用到，比如2D位图的放大、缩小，Tweening变换，以及我们即将看到的透视投影变换等等。基本思想是：给一个x属于[a, b]，找到y属于[c, d]，使得x与a的距离比上ab长度所得到的比例，等于y与c的距离比上cd长度所得到的比例，用数学表达式描述很容易理解：

(x - a)/(b - a)=(y - c)/(d - c)

这样，从a到b的每一个点都与c到d上的唯一一个点对应。有一个x，就可以求得一个y。

此外，如果x不在[a, b]内，比如x < a或者x > b，则得到的y也是符合y < c或者y > d，比例仍然不变，插值同样适用。

现在我们使用这种方法将x和y映射到[-1,1]范围内

我们再次强调我们获得的齐次坐标：[zoomx*x,zoomy*y,az+b,z]，我们暂时忽略zoomx和zoomy

(x/z - left)/(right - left) = (x' - (-1))/(1- (-1))

(y/z - bottom)/(top - bottom) = (y' - (-1))/(1- (-1))

我们计算出x'和y'

x' = (2x / z)/(right - left) - (right + left)/(right - left)

y' = (2y / z)/(top - bottom) - (top + bottom)/(top - bottom)

我们将重新z乘回去，获得齐次坐标下的x和y

x' = (2x)/(right - left) - (right + left)/(right - left)*z

y' = (2y)/(top - bottom) - (top + bottom)/(top - bottom)*z

我们将其写到矩阵里，最终我们就可以获得完整的透视投影矩阵了

[(2)/(right - left)  0 		              (right + left)/(right - left)           0]
[0 		 	         (2)/(top - bottom)   (top + bottom)/(top - bottom)           0]
[0                   0                    (n+f)/(f-n)                             1]
[0                   0                    -2nf/(f-n)                              0]

我们将上面这个矩阵称为M（这里其实还不完整，记得把zoomx，zoomy乘回去）

最终从视锥体变换到裁剪空间的表示式

[x,y,z,1] M = [x',y',az+b,z]

转化为普通三维坐标

[x'/z,y'/z,(az+b)/z,1]

我们在将相机缩放参数加回去，就是完整的裁剪空间坐标

[zoomx*x'/z,zoomy*y'/z,(az+b)/z,1]

当然，在根据不同约定下，a和b的值会有所不同，例如在DirectX风格的约定下，z[0,1]那么我们之前的计算就会有所不同，矩阵当然也有所不同。在OpenGL下，由于使用的是列矢量进行计算，因此相对于我们这里的矩阵，要进行转置

我们之前讨论的都是透视投影矩阵，对于正交投影矩阵其实很简单，就是最后一列的变化

[0,0,1,0]–>[0,0,0,1]，正交投影矩阵不需要根据距离的大小进行缩放。

屏幕空间

我们已经将视锥体裁剪到裁剪空间下了，那么最后我们需要将裁剪空间投影到屏幕空间，屏幕空间当然是2维空间。

首先就是进行标准化齐次除法，也就是除以w（OpenGL中将此结果称为归一化设备坐标），其实就是将之前的齐次坐标转化为普通三维坐标，我们之前已经做过了。

然后就是缩放x和y坐标，以映射到输出窗口上。

输出窗口如下：

裁剪空间的坐标中x和y是[-1,1]，但是输出窗口的坐标系和这不太一样，他的原点通常位于左上角。

而我们的窗口原点则为[winPosx,winPosy]，[0,0]则是屏幕的原点，因为我们的窗口并不一定覆盖整个屏幕设备

我们的画面是在窗口中的，也就是图中较小的框框内。

裁剪空间的齐次坐标：[x,y,z,w]

首先进行齐次除法

x' = x/w
y' = y/w

然后我们要将这个坐标映射到我们屏幕中窗口的坐标中

screenx = (x'*winResx)/2+winCenterx
screeny = -(y'*winResy)/2+winCentery

完整的写法

screenx = (x*winResx)/2w+winCenterx
screeny = -(y*winResy)/2w+winCentery

那么我们会有疑问，z有什么用？它被存储在深度缓冲，并用于深度测试。这一点有一定基础的读者应该容易理解。

另外w值也还有作用，在光栅化阶段，还需要用到它。