题333.floyd扩展之求传递闭包-acwing-Q343--排序

本文介绍了如何使用Floyd算法解决字母关系的确定问题,涉及传递闭包的概念和判断关系矛盾及完全确定的条件。在给定的ACwing Q343题目中,通过Floyd算法更新关系并检查一致性,最终确定字母的排序。代码实现包括Floyd求传递闭包和关系检查,并给出了解决过程中可能遇到的矛盾和未确定状态的处理方法。

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题333.floyd扩展之求传递闭包-acwing-Q343–排序


一、题目

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二、题解

本题要你求n个字母关系的确定情况,关键在于如何判断出现关系矛盾与所有字母关系全部确定。
首先,易知,本题给定小于关系,其中具有传递性,所以本质是在求传递闭包。因此每次加入新的关系后,判断前先跑一遍floyd求当前传递闭包,若dist[i][j]=1则有’A’+i<‘A’+j。
其次,关于判断有没有出现关系矛盾,只要看dist[i][i]是否为1,如果为1,则i<i,就是出现了矛盾。关于判断所有字母关系是否全部确定,可以判断是否有dist[i][j]和dist[j][i]都为0,如果有则说明没有确定所有字母的关系,如果一直都没有则答案不言而喻。
代码如下:

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn=26;

int n,m;
int G[maxn][maxn],dist[maxn][maxn];//G[i][j]=1表示'A'+i与'A'+j直接具备<关系,dist[i][j]=1表示'A'+i<'A'+j
int vis[maxn];

void floyd()//求传递闭包
{
    memcpy(dist,G,sizeof dist);//先将dist初始化成G
    for(int k=0;k<n;k++)
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            for(int j=0;j<n;j++)
            {
                dist[i][j]=dist[i][j]||dist[i][k]&&dist[k][j];//若i通过k与j连通或i与j已经连通,则将dist[i][j]赋值为1
            }
        }
    }
}

int check()
{
    for(int i=0;i<n;i++)//检查是否存在i<i,有则出现矛盾
    {
        if(dist[i][i])
        {
            return -1;
        }
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<i;j++)//因为考虑i、j和j、i,所以只用考虑到j<i即可,这不仅避免了i=j,还减少了循环次数
        {
            if(!dist[i][j]&&!dist[j][i])//若i,j和j,i都不存在<的关系,则说明当前没有将n个字母的关系确定,则直接return 0
            {
                return 0;
            }
        }
    }
    return 1;
}

char getNowMin()//得到当前关系处于最小的字母
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(!vis[i])//当前字母没有被输出过
        {
            int j;
            for(j=0;j<n;j++)
            {
                if(!vis[j]&&dist[j][i])//如果存在一个没有输出的字母'A'+j比'A'+i的关系更小,则'A'+i不是当前最小
                {
                    break;
                }
            }
            if(j==n)//坚持到了最后,没有一个字母'A'+j的关系比'A'+i更小
            {
                vis[i]=1;
                return 'A'+i;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    while(cin>>n>>m,n||m)
    {
        int flag=0,cnt;//flag为0表示还未确定n个字母的关系,为-1表示矛盾,为1表示n个字母关系已经确定
        memset(G,0,sizeof G);
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            string relation;
            cin>>relation;
            int u=relation[0]-'A',v=relation[2]-'A';
            if(!flag)
            {
                G[u][v]=1;
                floyd();
                flag=check();
                if(flag)
                {
                    cnt=i;
                }
            }
        }
        if(flag==-1)
        {
            printf("Inconsistency found after %d relations.\n",cnt);
        }
        else if(flag==0)
        {
            printf("Sorted sequence cannot be determined.\n");
        }
        else
        {
            memset(vis,0,sizeof vis);//记得把表示是否已经输出过该字母的数组初始化为0
            printf("Sorted sequence determined after %d relations: ",cnt);
            for(int i=0;i<n;i++)
            {
                printf("%c",getNowMin());
            }
            printf(".\n");
        }
    }
}


关于floyd求某关系的传递闭包,dist[i][j]表示具有i到j的关系,开始时dist用G直接关系矩阵初始化。代码板子如下:

void floyd()//求传递闭包
{
    memcpy(dist,G,sizeof dist);//先将dist初始化成G
    for(int k=0;k<n;k++)
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            for(int j=0;j<n;j++)
            {
                dist[i][j]=dist[i][j]||dist[i][k]&&dist[k][j];//若i通过k与j连通或i与j已经连通,则将dist[i][j]赋值为1
            }
        }
    }
}

### 使用Floyd-Warshall算法计算传递闭包 #### 理解传递闭包的概念 传递闭包是指在一个关系R中,如果存在一条从节点i到j的路径,则认为i和j之间存在直接或间接的关系。对于给定的关系矩阵A,其传递闭包T(A)是一个新的布尔矩阵,其中`T[i][j]=true`表示可以从顶点i到达顶点j。 #### Floyd-Warshall算法应用于传递闭包 为了利用Floyd-Warshall算法来构建传递闭包,可以将原始的距离概念替换为可达性的逻辑运算。具体来说: - 初始化阶段:创建一个n×n大小的布尔矩阵adjMatrix,其中n代表图中的顶点数量;对于每一对顶点(i, j),如果它们之间有一条直接连接(即原图中有边),则设置adjMatrix[i][j] = true;否则设为false。 - 更新过程:遍历所有的中间顶点k (0 ≤ k < n),再依次考虑所有可能的起点i 和终点j 的组合。当发现可以通过某个特定的中介点k使得原本不可达变为可达时(即adjMatrix[i][k]==true && adjMatrix[k][j]==true而之前adjMatrix[i][j]==false),就更新adjMatrix[i][j]为true[^1]。 下面是Python代码示例展示如何使用上述方法实现传递闭包的计算: ```python def floyd_warshall_transitive_closure(graph): V = len(graph) # 创建并初始化传递闭包矩阵 tc = [[False]*V for _ in range(V)] # 将初始存在的边标记为True for i in range(V): for j in range(V): if graph[i][j]: tc[i][j] = True # 应用Floyd-Warshall算法扩展可达性 for k in range(V): for i in range(V): for j in range(V): tc[i][j] |= (tc[i][k] and tc[k][j]) return tc ``` 此函数接收一个二维列表形式描述的无向/有向图作为输入参数graph,并返回该图对应的传递闭包矩阵tc。注意这里假设输入图形是以邻接矩阵的形式给出,其中非零元素指示两结点间存在连通路径[^4]。
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