树的三个经典问题----树的重心、中心、最长路径

最新推荐文章于 2024-07-25 14:00:47 发布

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本文介绍如何求解树的最长路径、树的中心及树的重心等问题，并提供了具体的算法实现代码。针对不同情况（如权值为非负或包含负数），采用不同的算法策略。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1.树的最长路径

在这里插入图片描述

权值为非负时

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 10010;
int n;
int h[N],e[N*2],w[N*2],ne[N*2],idx;
int dist[N];
void add(int a,int b,int c){
    e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
void dfs(int u,int father,int distance){
    dist[u]=distance;
    for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){
        int j=e[i];
        if(j!=father)
        dfs(j,u,distance+w[i]);
    }
}
int main()
{
    cin>>n;
    memset(h,-1,sizeof h);
    for(int i=0;i<n-1;i++){
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        add(a,b,c);
        add(b,a,c);
    }
    dfs(1,-1,0);
    int u=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(dist[u]<dist[i])u=i;
    }
    dfs(u,-1,0);
    for(int i=1;i<=n;i++)
     if(dist[u]<dist[i])
       u=i;
printf("%d\n", dist[u]);

}

权值有负数时，用树形DP思想

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N = 20010;
int e[N],ne[N],h[N],w[N],idx=0;
int res=0;
void add(int a,int b,int c)
{
    e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
//返回路径长度
int dfs(int u,int fa)
{
    int d1=0,d2=0,dis=0;
    for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i])
    {
        int j=e[i];
        if(j==fa)continue;
        int d=dfs(j,u)+w[i];
        dis=max(dis,d);
        if(d>=d1)d2=d1,d1=d;
        else if(d>d2)d2=d;
        
    }
    res=max(res,d1+d2);
    return dis;
}

int main()
{
    memset(h, -1, sizeof h);
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        add(a,b,c);
        add(b,a,c);
    }
    dfs(1,-1);
    cout<<res<<endl;
}

2.树的中心

在这里插入图片描述

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N = 20010,INF=0x3f3f3f3f;
int n;
int e[N],h[N],ne[N],w[N],idx=0;
int d1[N],d2[N],p[N],up[N];
bool is_leaf[N];
void add(int a,int b,int c)
{
    e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}

int dfs_d(int u,int fa)
{
    d1[u]=d2[u]=-INF;
    for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i])
    {
        int j=e[i];
        if(j==fa)continue;
        int d=dfs_d(j,u)+w[i];
        if(d>=d1[u])
        {
            d2[u]=d1[u];
            d1[u]=d;
            p[u]=j;
        }
        else if(d>d2[u])d2[u]=d;
    }
    if(d1[u]==-INF)
    {
        is_leaf[u]=true;
        d1[u]=d2[u]=0;
    }
    return d1[u];
}
int dfs_u(int u,int fa)
{
    for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i])
    {
        int j=e[i];
        if(j==fa)continue;
        if(p[u]==j)up[j]=max(up[u],d2[u])+w[i];
        else up[j]=max(up[u],d1[u])+w[i];
        dfs_u(j,u);
    }
    
}
int main()
{
    cin>>n;
    memset(h,-1,sizeof h);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        add(a,b,c);
        add(b,a,c);
    }
    dfs_d(1,-1);
    dfs_u(1,-1);
    int res=INF;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(is_leaf[i])res=min(res,up[i]);
        else res=min(res,max(up[i],d1[i]));
    }
    cout<<res<<endl;
}

在这里插入图片描述

3.树的重心

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N = 200010;
int h[N],e[N],ne[N],idx=0;
int n;
int ans=N;
void add(int a,int b)
{
    e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
//返回以u为根节点的树的节点个数
int dfs(int u,int fa)
{
    int sum=1,res=0;
    for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i])
    {
        int j=e[i];
        if(j==fa)continue;
        int s=dfs(j,u);
        sum+=s;
        res=max(s,res);
    }
    res=max(n-sum,res);
    ans=min(ans,res);
    return sum;
}
int main()
{
    memset(h,-1,sizeof h);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        add(a,b);
        add(b,a);
    }
    dfs(1,-1);
    cout<<ans<<endl;
}