树的重心中心直径LCA

最新推荐文章于 2024-06-14 12:45:31 发布

CCCCDEV_CCCC

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分类专栏： LCA

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本文介绍了树的重心、中心的概念及其性质，指出树的中心一定位于直径上，最多存在两个。详细讲解了最近公共祖先（LCA）的四种求解方法，包括暴力求解、倍增算法等。同时，阐述了树的直径的定义和性质，提供了两种求解树的直径的方法，分别是暴力DFS和结合LCA的方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

树的重心

也有许多的信息是自底向上进行统计的，比如每个节点x为根的子树大小
对于一个节点x，如果我们把它从树中删除，那么原来的一棵树可能会分成若干个不相连的部分，其中每一部分都是子树，设maxpart函数表示在删除节点x后产生的子树中，最大的一颗的大小，那么x就是重心

void dfs(int x)
{
	v[x]=1;
	size[x]=1;//假设子树的大小
	int maxpart=0;//假设，预处理
	for(int i=head[x];i;i=next[i])
	{
		int y=edge[i].ver;
		if(v[y]) continue;
		dfs(y);
		size[x]+=size[y];
		maxpart=max(maxpart,size[y]);//获取最大的子树
	}
	maxpart=max(maxpart,n-size[x]);//删除这个点最大值
	if(maxpart<ans）//这里为什么记录小一点的？
	//
	{
		ans=maxpart;//记录对应长度
		pos=x;//记录重点
	}
}

树的中心

圆的中心是圆心，树的中心呢？
树的中心类似与圆心，是该点到树中其他点的距离最远距离最小，同样，树的中心可能有很多个
树的中心满足如下性质：
1.它一定在树的直径上，并且到直径两端距离差不超过1
2.即使树有很多条直径，但是树的中心最多只有两个
假设直径长度为R，我们在x~y的路径上找到与x距离R/2的点，如果R/2小于x到z的路径，那么中心就在x到z的路径上，否则就在z到y的路径上，类似于二分思想

int work()
{
	int R=de[x]+de[y]-2*de[z];
	if(de[x]-de[z]>R/2)
	{
		for(int i=1;i<=R/2;i++)
		{
			x=fa[x];
		}
		return x;
	}
	else
		for(int i=1;i<=R-R/2;i++)
			y=fa[y];
		return y;
}

LCA

最近公共祖先，祖先就是指一个点的父亲，字面意思就可以理解，那么公共祖先就是两个点共有的祖先，最近的那一个叫做LCA
两个点的LCA只有一个
LCA的求法有四种，tajan，RMQ，树上倍增，树链剖分
tarjan只能离线求
RMQ的长度要翻倍
通常情况要用倍增和树剖，不过树剖是省队或者NOI才学的东西，我太菜了没有这么时间精力，目前不想学
一、暴力求解，两个点不断地向根的方向移动来求出
1.先求出每一个点深度
2.询问两个点是否重合，如果重合就求出来了LCA
3.不然挑选一个深度大的移动

int de[100],fa[100];
void dfs(int x,int fath)
{//获取层数
	fa[x]=fath;
	de[x]=de[fath]+1;
	for(int i=fa[x];i;i=next[i])
	{
		if(edge[i].var!=fath)
			dfs(edge[i].var,x);
	}
}
int lca(int x,int y)
{
	while(x!=y)//直至两个点重合
	{
		if(de[x]>=de[y]) x=fa[x];//上移
		else y=fa[y];
	}
	return x;
}

二、倍增，这个算法是对一步一步往上找的一个优化，向上移动的步数为2的次幂步数
1.先求出一个倍增数组anc[maxn][maxlog]其中，maxlog就是指2^x>=maxdeep也就是最大的一个限制，我们规定anc[i][j]是节点i向上走2^j步到达的节点。所以我们规定根节点的父亲就是自己，对于一个方程“anc[i][j]=anc[anc[i][j-1]][j-1]”
2.事先我们让x处于深一点的状态（否则进行交换），然后如果x所在的层数要是大于y的层数，就一直将x往上跳，直至两个点层数相同
3.如果这两个点重合，那么说明LCA求出来了
4.否则，就对x往上跳2ⁱ步和y往上跳2ⁱ进行一个比较，直至两个点重合，但是最后还得再次向上走一个

int de[100],anc[100][100];
void dfs(int x,int fa)
{
	de[x]=de[fa]+1;
	anc[x][0]=fa;//向上走一步为自己的父亲 
	for(int i=1;i<maxlog;i++)
	{
		anc[x][i]=anc[anc[x][i-1]][i-1];
		for(int i=fath[x];i;i=next[i])
		{
			if(edge[i].var!=fa) dfs(edge[i].var,x);
		}
	}
}
int lca(int x,int y)
{
	if(de[x]<de[y]) swap(x,y);//令x较大
	for(int i=maxlog-1;~i;i--)
	{
		if(de[anc[x][i]]>=de[y]) x=anc[x][i];
	 }
	 if(x==y) return x;//重合
	 for(int i=maxlog-1;~i;--i)
	 {
	 	if(anc[x][i]!=anc[y][i]) x=anc[x][i],y=anc[y][i];//一直往上跳 
	  } 
	return anc[x][0];
 }

树的直径

树中两点不重复经过的边和点叫做路径，路径长度称为距离
树的直径是树中两点最长路径，链接这两个点的路径叫做树的最长链，也就是说直径是一个数值概念，树的直径有很多条
树的直径满足的性质就是：
1.如果有多条直径，那么所有的直径都有一个公共点，也就是穿过的点
2.直径的两端肯定是叶子节点
那么我们如何求出来直径呢？
解法一：暴力，两边DFS
第一遍DFS求出距离某个点最远的节点x
第二遍DFS求出距离x点最远的点y
x到y的简单路径，就是树的直径
为了找出来距离某个节点最远的点，这棵树可以看作无根树，一个节点连向父亲边也要存入邻接表

int x,y,de[x];
void getde(int x,int fa)
{
	de[x]=de[fa]+1;//求取距离
	for(int i=head[x];i;i=next[i])
	{
		if(edge[i].var!=fa) 
			getda(edge[i].var,x);//递归儿子
	}
}
void work()
{
	getde(1,0);//这里就是建树
	x=1;//假设1号节点
	for(int i=2;i<=n;i++)
		if(de[i]>de[x] x=i;//找出最远的点
	getde(x,0)
	y=1;//假设1号节点
	for(int i=2;i<=n;i++)
		if(de[i]>de[y]) y=i;
	cout<<x<<" "<<y;
	cout<<de[y]<<endl;
}

解法二：LCA
我们通过LCA来求取DFS过程中对于每一个点，我们考虑以它为LCA的可能的直径，我们只需要维护最长链最次链
枚举每一个点，以这个点的最长最次，然后取最大值

int l=0;
int dfs(int x,int fa)
{
	int mx,mmx=0;//最长链，最次链
	for(int i=head[x];i;i=next[i])//枚举每一个点作为LCA
	{
		if(edge[i].var!=fa)
		{
			int tmp=dfs(edge[i].var,x);//递归儿子
			if(tmp>mx) mmx=mx,mx=tmp;
			else if(tmp>mmx) mxx=tmp;
		}
	}
	l=max(l,mmx+mx);
	return l;
}