矩阵快速幂

1、应用场景

已知方阵$A_{m\times m}$，计算它的$n$次幂，即$A^n$.

2、 矩阵快速幂计算原理

为了更快地计算$A^n$而不用从$1$到$n$进行遍历计算$A,A^2,A^3,\cdots ,A^n$，我们可以考虑计算$2$的幂对应的次方。

• $n=2^k$时，我们只需要计算$A,A^2,A^4,\cdots ,A^n$，计算次数只有$k$次。
  例如：$n=16$时，我们只需要计算$A,A^2,A^4,A^8,A^{16}$，计算次数为4次。

• $n$不为$2$的整数幂时，将$n$写成$2$的整数幂的和，即令$n=2^{k_1}+\cdots +2^{k_x}$ 。则$A^n=A^{2^{k_1}}\ast \cdots \ast A^{2^{k_x}}$。
  例如：$n=20$时，令$n=2^4+2^2$，则我们也是需要计算$A,A^2,A^4,A^8,A^{16}$，然后需要再多一次计算$A^4\ast A^{16}$。这个过程是在计算过程中完成的，并不需要记录$A^4$在结尾时再来计算。

总的来说，就是利用$2$的幂的良好性质来完成计算，时间复杂度为$O(\log n)$，而直接从$1$到$n$计算的时间复杂度为$O(n)$，提升较大。

3、计算代码模板

因为是利用$2$的幂，所以要使用$n$的二进制的性质进行计算。

//计算矩阵A的n次幂
result = I; //I为A的同阶单位矩阵，记录最后的结果
while(n>0){
	if(n & 1==1)  //等于1表明达到一个2的整数幂，将其乘到结果中去
		result = result * A;  
	n>>=1;  //每次n右移移位
	A=A*A;  //计算A的2的整数幂次方
}

4、示例

计算$A^n$，其中：
$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 0& 2\\ 6& 3& 2\end{array}\right]$$
c++代码如下：

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

#define N  3  //矩阵阶数
//矩阵乘法函数
vector<vector<long> > mulitply(vector<vector<long> >& a, vector<vector<long> >& b){
        vector<vector<long> > ans(N,vector<long>(N,0));
        for(int i=0;i<N;i++)
            for(int j=0;j<N;j++)
            	for(int k=0;k<N;k++)
                ans[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];
        return ans;
    }
 
 //快速幂计算函数
vector<vector<long> > QuickComputeMat(vector<vector<long> >& matrix, int n){
        vector<vector<long> > res={{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1}};  //计算结果记录矩阵
        while(n>0){
            if(n&1){  
                res=mulitply(res,matrix);
            }
            n>>=1;
            matrix=mulitply(matrix,matrix); //求平方迭代
        }
        return res;
}
int main()
{
vector<vector<long> >  A={{1,2,3},{1,0,2},{6,3,2}}; //需要计算的矩阵
int n=10;  //次方数
vector<vector<long> >  result=QuickComputeMat(A,n);
for(int i=0;i<N;i++)
{
	for(int j=0;j<N;j++)
		cout<<result[i][j]<<" ";
	cout<<endl;
}
cout<<endl;
return 0;
}

5、应用

[1] 计算第 N 个泰波那契数