矩阵乘法快速幂

本文讲述了员工小C在解决一道关于数列问题时遇到的挑战,如何借助矩阵快速幂的知识解决斐波那契类递推公式。通过矩阵乘法优化算法,小C揭示了从常规方法到高效解决方案的转变过程。

今天员工小c写题的时候遇到了在第四黑厂时期就没填的坑,今日再次见面,自然是无奈,但是他请教了他的好朋友枫系,原来需要矩阵乘法快速幂的知识。

Number Sequence
时间限制: 1 Sec  内存限制: 256 MB
题目描述
此题HDUOJ数据过水,网上题解中直接将n%49的做法是错误的。
A number sequence is defined as follows:

f(1) = 1, f(2) = 1, f(n) = (A * f(n - 1) + B * f(n - 2)) mod 7.

Given A, B, and n, you are to calculate the value of f(n).

输入
The input consists of multiple test cases. Each test case contains 3 integers A, B and n on a single line (1 <= A, B <= 1000, 1 <= n <= 100,000,000). Three zeros signal the end of input and this test case is not to be processed.

输出
For each test case, print the value of f(n) on a single line.

样例输入
1 1 3
1 2 10
0 0 0

样例输出
2
5

这就是小c遇到的题目,小c最早找规律半天也没找出来,就去问度娘,结果度娘所有答案都是%49,小C一看,稳了,马上又A一题。(第n次不读题,题上说了%49错的) Ctrl C+Ctrl V = WA。非常尴尬。

然后小c没办法呀,只能请教他的新朋友枫系,枫系二话不说,就很仗义地把自己的代码展示给了小C,小C一看两看三看四看都看不明白,后来才知道这是矩阵乘法快速幂,可惜网上的博客并没有教会小C,于是小C只能再次求助枫系。

原来矩阵乘法快速幂需要线性代数的知识,还好小C也是个带学生。这题看似是斐波那契递推的升级版,实则应该采用矩阵的方法优化。

### 矩阵乘法的实现 在C++中,矩阵乘法可以通过自定义的数据结构和运算符重载来实现。首先定义一个`Matrix`结构体,其中包含一个二维数组用于存储矩阵元素,并通过运算符重载实现矩阵乘法操作。矩阵乘法的时间复杂度为 $ O(n^3) $,这是由于三重循环嵌套导致的[^3]。以下是矩阵乘法的具体实现: ```cpp struct Matrix { int m[101][101]; // 假设矩阵最大为100x100 Matrix() { memset(m, 0, sizeof(m)); // 初始化矩阵为0 } }; Matrix operator*(const Matrix &x, const Matrix &y) { Matrix ret; for (int i = 1; i <= n; i++) { // n为矩阵的大小 for (int j = 1; j <= n; j++) { for (int k = 1; k <= n; k++) { ret.m[i][j] = (ret.m[i][j] + (x.m[i][k] * y.m[k][j]) % MOD) % MOD; // MOD用于取模,防止溢出 } } } return ret; } ``` ### 矩阵快速幂算法的实现 矩阵快速幂算法是快速幂算法在矩阵上的扩展。与普通快速幂初始化`ans`为1类似,矩阵快速幂将`ans`初始化为单位矩阵,其作用等同于1,任何矩阵乘以单位矩阵都等于原矩阵[^4]。矩阵快速幂的时间复杂度主要取决于矩阵乘法的时间复杂度,即 $ O(n^3) $,但由于幂运算的对数时间复杂度,整体效率较高[^1]。以下是矩阵快速幂的具体实现: ```cpp Matrix MatrixQuickPower(const Matrix &A, int k) { Matrix res; for (int i = 1; i <= n; i++) { res.m[i][i] = 1; // 初始化res为单位矩阵 } while (k) { if (k & 1) { res = res * A; // 如果当前位为1,乘上当前的A } A = A * A; // A平方 k >>= 1; // 右移一位 } return res; } ``` ### 应用示例:斐波那契数列 矩阵快速幂的一个典型应用是求解斐波那契数列。通过构造一个转移矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} $,可以将斐波那契数列递推公式转化为矩阵乘法形式。初始矩阵为 $ [a_1, a_2] $,通过矩阵快速幂可以高效地计算出第 $ n $ 项[^5]。 ```cpp Matrix fibMatrix = {{0, 1}, {1, 1}}; // 构造转移矩阵 Matrix result = MatrixQuickPower(fibMatrix, n - 1); // 计算矩阵的n-1次幂 int fib_n = (result.m[1][1] * a1 + result.m[1][2] * a2) % MOD; // 计算第n项斐波那契数 ``` ### 总结 矩阵乘法矩阵快速幂是解决线性递推问题的重要工具。通过矩阵快速幂算法,可以将递推问题的时间复杂度从指数级降低到对数级,从而显著提高计算效率。在C++中,通过结构体和运算符重载可以方便地实现矩阵乘法矩阵快速幂算法。 ---
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