计算在时刻 t 处于状态 i 的概率_计算t时刻变化率的表达式 csdn-优快云博客

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1. 前向概率 $\alpha_t(i)$ 的真正含义

公式：
$\alpha_t(i) = P(O_1, O_2, \dots, O_t, q_t = i \mid \lambda)$

解释：

$\alpha_t(i)$ 表示：
- 从初始状态开始
- 经历 $t$ 步 后
- 恰好在状态 $i$
- 并且观察到了前 $t$ 个观测值 $O_1, O_2, ..., O_t$ 的概率。

它不是 “在 $t$ 时刻生成某个具体观测值的概率”，而是 “经历 $t$ 步到达状态 $i$ 并生成整个序列 $O_1, O_2, ..., O_t$ 的概率”。

问题：

"如果 $O_t$ 不能由状态 $i$ 生成，那为什么还会有 $\alpha_t(i)$ ?

回答：如果状态 $i$ 在时刻 $t$ 不能生成观测 $O_t$ ，那么对应的状态输出概率 $b_i(O_t)$ 会是 0，使得 $\alpha_t(i)$ 变得很小或为 0，但不代表它不成立。因为前向概率不仅仅依赖于当前状态的观测输出，还考虑了所有可能的路径。

2. 前向概率递推公式

$\alpha_t(i) = \sum_{j} \alpha_{t-1}(j) a_{ji} b_i(O_t)$

拆解含义

$\alpha_{t-1}(j)$ ：在时刻 $t - 1$ 处于状态 $j$ 并生成观测 $O_1, O_2, ..., O_{t-1}$ 的概率。
$a_{ji}$ ：从状态 $j$ 转移到状态 $i$ 的概率。
$b_i(O_t)$ ：状态 $i$ 生成观测 $O_t$ 的概率。

为什么它计算的是 “到达状态 $i$ 的概率”？

$\alpha_t(i)$ 只计算在 $t$ 时刻到达状态 $i$ 的所有可能路径的概率。
它不关心最终状态是什么，也不关心未来会发生什么，只关心目前是否处于状态 $i$ 。

什么时候 $\alpha_t(i) = 0$ ？

如果：

状态 $i$ 不能生成 $O_t$ ，即 $b_i(O_t) = 0$ ，那么不管之前概率多大，最终 $\alpha_t(i)$ 也会变成 0。
没有任何路径能让系统在时刻 $t$ 进入状态 $i$ ，即 $\sum_j \alpha_{t-1}(j) a_{ji} = 0$ ，那么 $\alpha_t(i)$ 也会是 0。

因此：

$\alpha_t(i)$ 计算的是 “所有可能路径最终到达状态 $i$ 并生成观测 $O_t$ 的概率”。

3. 后向概率 $\beta_t(i)$ 的真正含义

公式：
$\beta_t(i) = P(O_{t+1}, O_{t+2}, ..., O_T \mid q_t = i, \lambda)$

解释：

假设已经确定在 $t$ 时刻处于状态 $i$ ，那么从 $t$ 到最终时刻 $T$ 还能观察到后续序列 $O_{t+1}, O_{t+2}, ..., O_T$ 的概率是多少？
它不考虑到达状态 $i$ 的概率，只计算如果已经在状态 $i$ ，后续还会发生的概率。

后向概率递推公式

$\beta_t(i) = \sum_j a_{ij} b_j(O_{t+1}) \beta_{t+1}(j)$

拆解含义

$a_{ij}$ ：从状态 $i$ 转移到状态 $j$ 的概率。
$b_j(O_{t+1})$ ：状态 $j$ 生成观测 $O_{t+1}$ 的概率。
$\beta_{t+1}(j)$ ：状态 $j$ 在 $t + 1$ 之后观察到所有剩余序列的概率。

前向算法（Forward Algorithm）计算的是 在时刻 $t$ 生成观测序列的概率，但它不是指 “仅仅在时刻 $t$ 生成观测值 $O_t$ 的概率”，而是指 “从起始状态开始，经过 $t$ 步，到达某个状态 $i$ 并生成完整的部分观测序列 $O_1, O_2, ..., O_t$ 的概率”。

前向算法的核心目标

$\mid \lambda) = \sum_{i} \alpha_T(i)$
它的目的是高效地计算整个观测序列 $O = (O_1, O_2, ..., O_T)$ 发生的概率。

前向概率 $\alpha_t(i)$ 的真正含义

$\alpha_t(i) = P(O_1, O_2, ..., O_t, q_t = i \mid \lambda)$
它表示：

从初始状态开始
经过 $t$ 步，刚好到达状态 $i$
并且已经生成了观测序列 $O_1, O_2, ..., O_t$
的概率

所以，前向概率 累积了所有可能路径，它不仅仅是 “单独在时刻 $t$ 生成 $O_t$ 的概率”，而是 “所有能走到 $i$ 并生成完整部分观测的概率”。

前向算法的递推公式

$\alpha_t(i) = \sum_{j} \alpha_{t-1}(j) a_{ji} b_i(O_t)$

$\alpha_{t-1}(j)$ : 之前一步 $t - 1$ 处于状态 $j$ 并生成了 $O_1, ..., O_{t-1}$ 的概率。
$a_{ji}$ : 从状态 $j$ 迁移到 $i$ 的概率。
$b_i(O_t)$ : 处于状态 $i$ 时生成 $O_t$ 的概率。

这个递推过程意味着：

考虑了所有路径，只要到达了 $t$ 时刻的状态 $i$ ，都被纳入计算。
并非仅仅是 $P(O_t \mid q_t = i)$ ，它还包含了到达 $t$ 的所有可能路径的加权概率。

最终的前向算法目标

计算整个观测序列 $O$ 发生的概率：
$\mid \lambda) = \sum_{i} \alpha_T(i)$
即所有可能的路径加总后，生成 $O_1, O_2, ..., O_T$ 的概率。

直观理解：前向算法 ≠ 只计算单个 $O_t$ 的生成概率

假设：

你在公园散步，你的路径是随机的。
你每走一步都会拍一张照片（这就是观测 $O_t$ ）。
前向算法就是计算：“从起点出发，到达某个位置，并拍到所有这些照片的概率是多少？”
这个概率考虑了所有可能的路径，并不是简单地计算某张照片单独出现的概率，而是 “所有路径导致整个照片序列被拍摄的总概率”。

✅ 前向算法计算的是在 $t$ 时刻生成观测序列 $O_1, O_2, ..., O_t$ 的概率，而不是仅仅在 $t$ 时刻生成 $O_t$ 的概率。
✅ 它累积了所有可能路径的概率，而不是仅考虑单步 $P(O_t \mid q_t = i)$ 。
✅ 最终目标是计算整个观测序列的概率 $\mid \lambda)$ 。

计算在时刻 t 处于状态 i 的概率

理论推导

公式：
$\gamma_t(i) = \frac{\alpha_t(i) \beta_t(i)}{P(O|\lambda)}$

其中：

$\gamma_t(i)$ ：在时刻 $t$ 处于状态 $i$ 的概率。
$\alpha_t(i)$ （前向概率，Forward Probability）：在时刻 $t$ 到达状态 $i$ 并观察到部分观测序列 $O_1, O_2, ..., O_t$ 的概率。
$\beta_t(i)$ （后向概率，Backward Probability）：在时刻 $t$ 处于状态 $i$ ，并且从时刻 $t + 1$ 到 $T$ 观察到剩余的观测序列 $O_{t+1}, O_{t+2}, ..., O_T$ 的概率。
$P(O|\lambda)$ （观测序列的概率）：HMM 生成整个观测序列 $O$ 的总概率，即：
$P(O|\lambda) = \sum_{i} \alpha_T(i)$