循环码（Cyclic Code）

循环码（Cyclic Code）是线性码的一个子类，但它有一个额外的约束：所有的码字都是彼此的循环移位形式。这个性质使得循环码在实际应用中非常有用，特别是在硬件实现方面。

1. 什么是循环码？

循环码是一种特殊的线性码，它不仅满足线性码的基本性质（如闭包性），还有一个附加的约束条件：

• 循环移位：如果一个码字 $C=(c_0,c_1,\dots ,c_{n-1})$ 是一个有效的循环码码字，那么将它的位移位（右移或左移）也会产生另一个有效的码字。例如：
  • 如果 $C=(c_0,c_1,c_2,c_3)$，那么将其循环移位一次得到 $(c_3,c_0,c_1,c_2)$，这个新的码字也必须是一个有效码字。

2. 为什么循环码有用？

循环码的循环性质使其在硬件实现中非常方便。因为它们的编码和解码可以通过线性反馈移位寄存器（Linear Feedback Shift Register, LFSR）来实现。LFSR 是一种硬件电路，能够高效地生成和检测循环码码字。

3. 循环码的定义：$(n,k)$ 循环码

一个 $(n,k)$ 循环码有以下几个基本参数：

• $n$：码字的长度（包括信息位和校验位）。
• $k$：信息位的数量。
• $m=n-k$：校验位的数量，也是生成多项式的阶数。

4. 生成多项式 $g(x)$

循环码的构造依赖于一个生成多项式 $g(x)$。这个多项式是循环码的核心，它定义了如何将信息位转化为码字。生成多项式 $g(x)$ 的阶数为 $m$，即：
$$m=n-k$$

生成多项式有以下特性：

• 它是一个 $n$ 阶二进制多项式的因式。
• 它可以被用来生成循环码的所有码字。

5. 多项式表示和码字的生成

5.1 多项式表示

在循环码中，码字可以用多项式表示。设一个 $n$ 位码字为 $C=(c_0,c_1,\dots ,c_{n-1})$，我们可以用一个多项式表示它：
$$C(x)=c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+\cdots +c_{n-1}{x}^{n-1}$$

其中：

• $c_i$ 是码字中第 $i$ 位（取值为 0 或 1）。
• $x$ 是一个形式上的变量。

5.2 使用生成多项式 $g(x)$ 生成码字

一个循环码的所有码字 $C(x)$ 都可以被生成多项式 $g(x)$ 整除。也就是说，对于任何一个有效的码字 $C(x)$，它一定可以表示为：
$$C(x)=M(x)\cdot g(x)$$

其中：

• $M(x)$ 是一个信息多项式，它包含了 $k$ 位的信息位。
• $g(x)$ 是生成多项式，其阶数为 $m=n-k$。

通过将信息多项式 $M(x)$ 乘以生成多项式 $g(x)$，我们可以得到完整的码字 $C(x)$。

6. 生成多项式的选择

生成多项式 $g(x)$ 的选择对于循环码的性能至关重要。一个好的生成多项式可以确保：

• 码字之间有足够大的最小汉明距离，以提高错误检测和纠错能力。
• 码字满足循环移位的性质。

7. 示例：构造一个 $(7,4)$ 循环码

我们来看一个具体的例子：构造一个 $(7,4)$ 循环码。

• 码字长度 $n=7$，信息位数量 $k=4$，所以校验位数量为 $m=n-k=3$。
• 我们选择一个阶数为 3 的生成多项式 $g(x)=x^3+x+1$。

步骤 1：表示信息位

假设我们有一个信息多项式 $M(x)=x^3+x$，对应的信息位为 1010。

步骤 2：生成码字

我们将信息多项式 $M(x)$ 乘以生成多项式 $g(x)$：
$$C(x)=M(x)\cdot g(x)=(x^3+x)\cdot (x^3+x+1)$$

通过展开并计算多项式，我们得到一个 7 位的多项式 $C(x)$，这就是生成的码字。

或者说，步骤二可以是，对于7位循环码来说，在1100的基础上先pad with 3个0，然后再利用1100000去除以1011，余数就是parity bits,用parity bits替换3个零，得到的就是生成的码字。

8. 循环码的优点：LFSR 实现

因为循环码具有循环性质，可以使用 LFSR 来高效地实现它。LFSR 是一种硬件电路，可以利用生成多项式 $g(x)$ 对数据进行循环移位操作，并生成相应的校验位。这种实现方式大大降低了硬件复杂度和成本。

9. 总结

• 循环码是一种线性码的子类，它的所有码字都是彼此的循环移位。
• 通过生成多项式 $g(x)$，我们可以系统地生成循环码的码字。
• 生成多项式的阶数为 $m=n-k$，它决定了码字的结构和校验位的生成方式。
• LFSR 是实现循环码的一种高效方式，利用了循环码的循环性质。