维特比算法（Viterbi Algorithm） 的公式化描述

1. 初始化：

公式：
$$v_1(j)=a_{0j}{b}_j(o_1),1\le j\le N$$

• $v_1(j)$：表示在时间 $t=1$ 时，以隐藏状态 $j$ 为结束状态的最优路径的概率。
• $a_{0j}$：表示从初始状态（假设为虚拟状态 $q_0$）转移到状态 $j$ 的转移概率。
• $b_j(o_1)$：表示状态 $j$ 发射观测 $o_1$ 的概率。

初始化的过程计算的是：从起始状态 $q_0$ 转移到状态 $j$，并在 $j$ 状态发射观测 $o_1$ 的概率。

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2. 递归：

公式：
$$v_t(j)=\underset{i=1}{\overset{N}{\max }}\left[v_{t-1}(i)a_{ij}\right]b_j(o_t),1\le j\le N,1<t\le T$$

• $v_t(j)$：表示在时间 $t$ 时，以隐藏状态 $j$ 为结束状态的最优路径的概率。
• $v_{t-1}(i)$：表示时间 $t-1$ 时，以隐藏状态 $i$ 为结束状态的最优路径的概率。
• $a_{ij}$：表示从隐藏状态 $i$ 转移到状态 $j$ 的转移概率。
• $b_j(o_t)$：表示状态 $j$ 发射观测 $o_t$ 的概率。

含义：

对于每个时间步 $t$ 的每个状态 $j$，我们计算：

1. 从前一个时间 $t-1$ 的所有可能状态 $i$ 转移到状态 $j$ 的概率。
2. 找到其中概率最大的路径（即选择最优的 $i$）。
3. 再乘以状态 $j$ 发射当前观测 $o_t$ 的概率 $b_j(o_t)$。

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公式：
$$b{t}_t(j)=\arg \underset{i=1}{\overset{N}{\max }}\left[v_{t-1}(i)a_{ij}{b}_j(o_t)\right],1\le j\le N,1<t\le T$$

• $b{t}_t(j)$：是一个回溯指针，用于记录时间 $t$ 时状态 $j$ 的最优路径是从哪个状态 $i$ 转移来的。

含义：

我们不仅需要计算概率最大值，还需要记录路径上每一步的决策（即最优转移路径），以便最终回溯得到完整的最优路径。

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3. 结束：

公式：
$$P^{\ast }=v_T(q_F)=\underset{i=1}{\overset{N}{\max }}\left[v_T(i)a_{i,F}\right]$$

• $P^{\ast }$：是最优路径的概率，即从初始状态到达最终状态 $q_F$ 的最优路径的最大概率。
• $v_T(i)$：是时间 $T$ 时以状态 $i$ 为结束状态的最优路径的概率。
• $a_{i,F}$：是从状态 $i$ 转移到终止状态 $q_F$ 的转移概率。

含义：

从所有可能的结束状态 $i$ 中选择概率最大的路径，并将其作为最终的最优路径。

公式：
$$q_T=b{t}_T(q_F)=\arg \underset{i=1}{\overset{N}{\max }}\left[v_T(i)a_{i,F}\right]$$

• $q_T$：是最优路径在最后一个时间步 $T$ 所对应的隐藏状态。

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总结过程：

1. 初始化：计算初始状态到每个可能隐藏状态的概率。
2. 递归：逐步计算每个时间步中每个状态的最优路径概率，同时记录路径选择。
3. 结束：找到最优路径的最大概率，确定最终隐藏状态。
4. 回溯：根据记录的路径选择回溯，得到完整的隐藏状态序列。