能带边缘和驻波现象

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1. 电子速度 $\partial E/\partial p$ 为零的含义

首先，我们来理解“电子速度 $\partial E/\partial p$ 为零”是什么意思。

• $\partial E/\partial p$：表示电子的速度，也叫群速度。这就好像一辆车的速度取决于路的“坡度”——坡度越陡，车速越快。
• “为零”：当坡度变平时，车子速度会变成零，车子相当于“停在原地”。
  对于电子来说：
  $$v_g=\frac{\partial E}{\partial p}=0$$
  表示电子在能带边缘附近的“速度”为零，电子好像“停住了”。

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2. 为什么在能带边缘速度为零？

电子在晶格中运动时，会受到晶格中原子核的周期性电场的影响。这种影响会导致两个重要的现象：

1. 当电子运动到布里渊区的边界时，它会被反射回来。
2. 电子波（本质上是一个波动）在前进和反射的过程中，会产生驻波。

驻波是什么？
驻波就是两个波（一个向前走，一个反向走）叠加在一起时，形成的波动：

• 有些位置两个波加强，振幅变大（电子“停在”这里的概率最大）。
• 有些位置两个波互相抵消，振幅变小（电子“几乎不会”出现在这里）。

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3. $|\psi (-){|}^2$ 和 $|\psi (+){|}^2$：概率密度

这里的 $|\psi (-){|}^2$ 和 $|\psi (+){|}^2$ 是电子波函数的概率密度，表示电子在某个位置出现的可能性有多大。

• $|\psi (-){|}^2$：是反向波（向左传播的电子波）的概率密度。
• $|\psi (+){|}^2$：是正向波（向右传播的电子波）的概率密度。

当两者相互叠加时，形成驻波，电子在某些点出现的概率变大，而在另一些点出现的概率变小。这种分布是驻波的典型特征。

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4. 驻波与群速度的关系

• 当电子形成驻波时，它的“整体”不会前进，因为前进波和反向波的速度互相抵消了。
• 因此，电子的群速度 $v_g=\frac{\partial E}{\partial p}$ 变为零。

这意味着：

• 电子在能带边缘附近的速度为零（$\partial E/\partial p=0$）。
• 电子波的“运动”表现为站立不动的驻波，它的概率分布表现出周期性结构。

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5. 关键总结

1. 能带边缘：电子受晶格周期性势场的影响，无法继续前进，速度变为零。
2. 驻波形成：向前传播的电子波和反向传播的电子波相互叠加，形成驻波。
3. 概率密度：驻波导致电子在空间中的概率分布发生周期性变化，有些位置概率最大，有些位置概率最小。
4. 群速度为零：驻波的形成导致电子的群速度 $v_g=0$，电子“停在了原地”。

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可以想象：

• 电子走到一个“特殊的路段”，被反射回去，前进和反向的力量抵消，电子就停在了那里。
• 它并不是完全静止，而是形成了一个波动模式（驻波），电子在某些位置“更可能”出现。