功率谱密度 (PSD)、能量谱密度 (ESD) 和自相关函数

1. 功率谱密度 (Power Spectral Density, PSD)

功率谱密度 $S_{xx}(\omega )$ 描述了功率信号（周期性信号） 在频域中的功率分布，通常用于分析周期性信号。对于功率信号，信号的平均功率是有限的，但总能量可能是无限的。

功率谱密度的定义为：

$$S_{xx}(\omega )=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}|X_T(\omega ){|}^2$$

其中：

• $X_T(\omega )$ 是信号 $x(t)$ 在时间区间 $[-T,T]$ 上的傅里叶series变换：
  $$X_T(\omega )={\int }_{-T}^{T}x(t)e^{-j\omega t}dt$$

在离散时间信号的情况下，功率谱密度定义为：

S x x ( ω ) = lim ⁡ N → ∞ 1 2 N + 1 ∣ ∑ n = − N N x ( n ) e − j ω n ∣ 2 S_{xx}(\omega) = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} \left| \sum_{n=-N}^{N} x(n) e^{-j\omega n} \right|^2 Sxx​(ω)=N→∞lim​2N+11​ ​n=−N∑N​x(n)e−jωn