算法设计与分析——分治与递归——整数划分问题

将正整数n表示为一系列正整数之和，

     n=n1+n2+n3+n4+......+nk   （其中，n1>=n2>=n3>=n4........>=nk>0,k>=1）

正整数n的这种表示成为正整数n的划分。正整数n的不同划分个数成为正整数n的划分数，记作p（n）。

例如，正整数6有如下11种划分:

6;

5+1;

4+2,4+1+1;

3+3,3+2+1,3+1+1+1;

2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;

1+1+1+1+1+1;

其实这种问题可以认为是把n划分为 加数小于或等于某个数的划分，在这里把这个数成为m。例如，对6的划分可以认作是将6划分为加数小于等于6的划分，因为6的加数确实小于等于6，为什么要引入这个m呢，是因为我们发现，从这个角度思考，比较容易求解。我们将划分的种类数记为q（n,m）

在递归里，要对形参进行判断

（1）当n=1时 q(1,m)：表示是对1的划分，那么只有一种划分方式 1

（2）当m=1时q(n,1)：当m=1时其实就是把让所有加数小于等于1，那就是所有加数都是1咯（不考虑负数），当然也只有一种划分方式

（3）当n==m时q(n,n)：此时就是对n的划分出来的数没有限制，默认限制就是不大于n，此时划分的总类数要分两种情况才比较好解决：

       1.划分出来的数包含n（或m，因为n==m）:那只有一种方式 比如 6的划分 只有 6;一种方式

       2.划分出来的数不包含n（或m，因为n==m）:就可以认为是将6划分出来的数都小于6，其实就是都小于或等于5,接下来        其实就是求出来q(n,n-1)或者是q(n,m-1),此时n>m-1,放到递归方程里就是求解q(n,m) n>m

 综合起来 q(n,n)=1+q(n,m-1)

（4）当n>m时：当遇到这个问题时，其实可以看做是对n的划分有了条件，就是所有的划分出来的数小于m，在上文中，6有11种划分方式，那是没有对6划分出来的数进行限制，当要使划分出来的数都小于某个数时比如5时，那就不是11种了。

5+1;

4+2,4+1+1;

3+3,3+2+1,3+1+1+1;

2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;

1+1+1+1+1+1;

这个时候分两种情况：包含m和不包含m ：

不包含m就是：

4+2,4+1+1;

3+3,3+2+1,3+1+1+1;

2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;

1+1+1+1+1+1;这些情况，其实就是求6的划分出来的数小于等于4的情况,放到递归方程就是 q(n,m-1)

包含m就是：

5+1;

这个时候，确定这种划分数量的时候m不再是主角，我们只要求出来n-m的划分情况就行了，因为此时的m的划分情况，取决于n-m。 比如包含m=5的划分情况就是 6-5=1的情况，比如包含4的划分情况就是求6-4=2,2的没有限制的划分情况。放到递归方程里面就是q(n-m,m)

（5）q（n,m）n<m:n<m时，比如n=6,m=7 求得就是6得划分数小于等于7的情况，其实就是求解小于等于6，故此时情况就是求解q(n,n);

根据以上分析：

q( n, n ) = 1, 当 n ==1;

q( n, n ) = 1, 当m == 1;

q( n, n ) = q( n,n ) , 当n < m;

q( n, n ) = q( n, m-1) +1 , 当n == m;

q( n, n ) = q( n - m, m ) + q( n , m -1) , 当n > m>0;

#include<iostream>
using namespace std;
int q(int n,int m)
{
	if((n<0)||(m<0))
		return 0;
	if((n==1)||(m==1))
		return 1;
	if(n<m)
		return q(n,n);
	if(n==m)
		return (1+q(n,m-1));
	if(1<m<n)
		return q(n,m-1)+q(n-m,m);
}
int main()
{
	int n;
	cout<<"输入需要来解决的整数划分问题的数字："<<endl;
	cin>>n; 
	cout<<n<<"的整数划分的个数一共有"<<q(n,n);
	return 0;
 }