算法设计与分析——回溯法——批处理作业调度

问题描述：给定n个作业的集合{J1,J2,…,Jn}。每个作业必须先由机器1处理，然后由机器2处理。作业Ji需要机器j的处理时间为tji。对于一个确定的作业调度，设Fji是作业i在机器j上完成处理的时间。所有作业在机器2上完成处理的时间和称为该作业调度的完成时间和。

批处理作业调度问题要求对于给定的n个作业，制定最佳作业调度方案，使其完成时间和达到最小。

这3个作业的6种可能的调度方案是1,2,3；1,3,2；2,1,3；2,3,1；3,1,2；3,2,1；它们所相应的完成时间和分别是19，18，20，21，19，19。易见，最佳调度方案是1,3,2，其完成时间和为18。

以1,2,3为例:
作业1在机器1上完成的时间为2,在机器2上完成的时间为3
作业2在机器1上完成的时间为5,在机器2上完成的时间为6
作业3在机器1上完成的时间为7,在机器2上完成的时间为10
3+6+10=19，所以时间和为19。

以1,3,2为例:
作业1在机器1上完成的时间为2,在机器2上完成的时间为3
作业3在机器1上完成的时间为4,在机器2上完成的时间为7
作业2在机器1上完成的时间为7,在机器2上完成的时间为8
3+7+8=18，所以时间和为18。

批处理作业调度问题要从n个作业的所有排列中找出具有最小完成时间和的作业调度，所以如图，批处理作业调度问题的解空间是一颗排列树。按照回溯法搜索排列树的算法框架，设开始时x=[1,2,……n]是所给的n个作业，则相应的排列树由x[1:n]的所有排列构成。

算法分析：

#include<iostream>

#include<stdlib.h>
using namespace std;
class Flowshop
{
	public:
		int **M;//各作业需要的处理时间 
		int *x;//当前作业调度 
		int *bestx;//当前最优作业调度 
		int *f2;//机器2完成处理时间 
		int f1;//机器1完成处理时间 
		int f;//完成时间和 
		int bestf;//当前最优值 
		int n;//作业数量 
	void Backtrack(int i);//回溯算法 
	
};



void Flowshop::Backtrack(int i)
{
	if(i>n)
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)//记录路径 
		{
			bestx[i]=x[i];
		}
		bestf = f;//因为到了叶子结点了，不需要判断了 
	}
	else
	{
		for(int j=i;j<=n;j++)//分枝数 
		{
		//设置作业在机器1完成的时间
			f1 +=M[x[j]][1];//回溯算法的关键 
			f2[i]=((f2[i-1]>f1)? f2[i-1]:f1) +M[x[j]][2];
			
			f+=f2[i];//回溯算法的关键 
			if(f<bestf)
			{
				swap(x[i],x[j]);
				Backtrack(i+1);
				swap(x[i],x[j]);
			}
			f1 -=M[x[j]][1];//回溯算法的关键 
			f -=f2[i];//回溯算法的关键 
			 
			
		 } 
	} 
 } 

int Flow(int **M,int n,int bestx[])//初始化 
{
	int ub = INT_MAX;
	Flowshop X;
	X.x = new int [n+1];
	X.f2 = new int [n+1];
	X.M=M;
	X.n=n;
	X.bestx=bestx;
	X.bestf = ub;
	X.f1 = 0;
	X.f = 0;
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		X.f2[i]=0,X.x[i]=i;
		
	}
	X.Backtrack(1);
	delete[] X.x;
	delete[] X.f2;
	return X.bestf;
}
int main()
{
	int n;

	cout<<"请输入要处理作业的数量：";
	cin>>n;
	int bestx[n+1];
    int **M =new int *[n+1];
    for(int i=0;i<n+1;i++)
    {
    	M[i]= new int [3];
	}
	cout<<"请输入每个作业在两个机器上工作的处理时间序列:(如1 2)："<<endl; 
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>M[i][1]>>M[i][2];
	}
	cout<<"所有作业在机器2上的完成时间和(该作业调度的完成时间)为："<<Flow(M,n,bestx);
}

算法的时间复杂度为O(n!)