回溯法（算法分析与设计）

0.回溯法的算法框架

A.简介

回溯法，又称试探法。一般需要遍历解空间，时间复杂度概况：子集树Ω(2^n)，排序树Ω(n!)，暴力法

B.回溯法解题三步骤

1）定义问题的解空间

如0-1背包问题，当n=3时，解空间是(0,0,0)、(0,0,1)、(0,1,0)、(0,1,1)、(1,0,0)、(1,0,1)、(1,1,0)、(1,1,1)。1代表选择该物品，0代表不选择该物品

2）确定易搜索的解空间结构

3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索

C.子集树、排列树及其他

1）子集树

a.概念

当所给问题是从n个元素的集合S中找出S满足的某种性质的子集时，相应的解空间树称为子集树。例如，0-1背包问题，要求在n个物品的集合S中，选出几个物品，使物品在背包容积C的限制下，总价值最大（即集合S的满足条件<容积C下价值最大>的某个子集）。

另：子集树是从集合S中选出符合限定条件的子集，故每个集合元素只需判断是否（0,1）入选，因此解空间应是一颗满二叉树

b.回溯法搜索子集树的一般算法

void backtrack(int t)//t是当前层数 
{
	if(t>n)//需要判断每一个元素是否加入子集，所以必须达到叶节点，才可以输出
	{
		output(x);
	}
	else
	{
		for(int i=0;i<=1;i++)//子集树是从集合S中，选出符合限定条件的子集，故每个元素判断是（1）否（0）选入即可（二叉树），因此i定义域为{0,1} 
		{
			x[t]=i;//x[]表示是否加入点集，1表示是，0表示否
			if(constraint(t)&&bound(t))//constraint(t)和bound(t)分别是约束条件和限定函数 
			{
				backtrack(t+1);
			}
		}
	}
} 

2）排列树

a.概念

当问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应的解空间称为排列树。排列树与子集树最大的区别在于，排列树的解包括整个集合S的元素，而子集树的解则只包括符合条件的集合S的子集。

b.回溯法搜素排列树的一般算法

void backtrack(int t)//t是当前层数 
{
	if(t>n)//n是限定最大层数 
	{
		output(x);
	}
	else
	{
		for(int i=t;i<=n;i++)//排列树的节点所含的孩子个数是递减的，第0层节点含num-0个孩子，第1层节点含num-1个孩子，第二层节点含num-2个孩子···第num层节点为叶节点，不含孩子。即第x层的节点含num-x个孩子，因此第t层的i，它的起点为t层数，终点为num，第t层（根节点为空节点，除外），有num-t+1个亲兄弟，需要轮num-t+1回 
		{
			swap(x[t],x[i]);//与第i个兄弟交换位置，排列树一条路径上是没有重复节点的，是集合S全员元素的一个排列，故与兄弟交换位置后就是一个新的排列
			if(constraint(t)&&bound